Характеристическое уравнение. 
Математика в экономике

В параграфе 2.1 было введено определение собственного значения и собственного вектора матрицы. Пусть х — собственный вектор квадратной матрицы А порядка п. Тогда имеет место матричное уравнение.

или где X — собственное значение матрицы Л, а? и 0 — соответственно единичная матрица и нулевой вектор-столбец. Уравнение (4.27) эквивалентно системе однородных уравнений:

В уравнениях (4.28) а у — элементы матрицы A, Xj — координаты собственного вектора х. Поскольку собственный вектор не является нулевым, однородная система (4.28) должна иметь ненулевое решение, т.с. в силу следствия 2 определитель этой системы равен нулю:

Уравнение (4.29), как мы уже знаем, называется характеристическим уравнением матрицы А. Обращаясь к примеру 6 п. 3.2.3, следует отмстить, что собственные векторы, соответствующие фундаментальным решениям однородных систем для компонент собственных векторов (в данном случае их будет по одному на каждое собственное значение), имеют вид: х, =(-2,1), х₂ =(1,1).

Упражнения

Решить системы линейных уравнений методом Крамера.

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.

Решить системы уравнений методом обратной матрицы, предварительно вычислив обратную матрицу методом Гаусса.

Найти фундаментальные системы решений однородных систем.