Оптимизация структуры портфеля из n разновидностей рисковых ценных бумаг

Для оценки оптимизации введем следующие обозначения: г- — ожидаемая доходность i-й ценной бумаги; i = 1,2,…, т, n_i — доля i-й ценной бумаги в портфеле; — ковариация между i-й и j-й ценными бумагами; г_р — ожидаемая доходность портфеля; о_р — стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля.

В соответствии с теорией вероятности.

Дана функция полезности инвестора, характеризующая его отношение к доходности и риску: U = гг_р-о_р, где |/ — параметр предпочтения между риском и доходностью.

Задача. уг_р-с_р —>тах при =1.

Решение. Воспользуемся функцией Лагранжа.

где X — сомножитель Лагранжа.

Условия максимизации в матричной форме имеют следующий вид:

Обозначим буквой R уменьшаемое в равенстве (1), первый сомножитель вычитаемого (матрицу) — буквой С, а второй сомножитель (вектор) — буквой G. Тогда условие максимизации функции Лагранжа можно записать в виде.

Определим обратную матрицу к матрице С. Для краткости обозначим все ее элементы, кроме последнего столбца и последней строки, а-. Элементы последнего столбца и последней строки получаются одинаковыми, и их обозначим с-.

Для определения оптимальной структуры портфеля остается решить систему уравнений.

т.

Обозначив b_t = получим следующую формулу для расчета.

;=1.

оптимальной доли каждого вида ценных бумаг в портфеле:

Определим портфель с минимальным риском. Параметр / представляет собой тангенс угла, образованного осью ординат и касательной к области выбора инвестора в точке, соответствующей оптимальному портфелю (см. рис. 5.8). Когда инвестор отдает предпочтение портфелю с минимальным риском, тогда касательная становится параллельной оси ординат, поэтому f = 0. Следовательно, у такого портфеля n =c_v т. е. последний столбец (строка) обратной матрицы С^-1 представляет структуру портфеля с минимальным риском. Доходность и риск его будут.

Для определения структуры портфеля, отвечающего другим требованиям инвестора, удобно использовать специфический показатель.

Посредством показателей r_pm[n, a_/;min и со легко можно найти структуру портфеля, соответствующего конкретным требованиям инвестора.

Допустим, нужно сформировать портфель с заданной ожидаемой доходностью 7_р. В соответствии с равенствами (2) и (3).

Из равенства (5) определим, какому значению у соответствует желание инвестора иметь ожидаемую доходность портфеля, равную г_р,.

Подставив значение у, полученное из выражения (6), в уравнение (2), найдем структуру портфеля с заданной ожидаемой доходностью.

Для определения структуры портфеля с заданной степенью риска примем во внимание, что.

Первое слагаемое в выражении (7) — вариация портфеля с минимальным риском (см. равенство (4)). После преобразований второе слагаемое можно представить в виде, а третье слагаемое равно нулю. Поэтому.

Подставив выражение (8) в уравнение (2), найдем структуру портфеля с заданной степенью риска.

Пример

На основе наблюдений за фондовым рынком для трех видов акций установлены характеристики, представленные в табл. 1.

Таблица 1

Составим из этих акций портфель: а) с минимальным риском; б) максимизирующий функцию полезности U = 40г_р-с²_р; в) с ожидаемой доходностью 17%; г) с риском G_p = 18%. В данном примере матрицу системы уравнений (1) можно представить в виде табл. 2, а обратную к ней — в виде табл. 3.

Таблица 2

Таблица 3

Последний столбец в табл. 3 указывает на то, что в портфеле с минимальным риском должно быть акций, %: А — 69,88, В — 15,47 и С — 14,65. Обратим внимание на то, что акций А в портфеле оказалось значительно больше, чем В, хотя по сочетанию доходности и риска первые уступают вторым. Ожидаемая доходность такого портфеля равна 12,97% при а_;= 11,11%.

Для определения структуры портфеля, максимизирующей заданную функцию полезности, вычислим Ь;.

Теперь по формуле (2) найдем искомую структуру портфеля: Ожидаемая доходность этого портфеля г_р = 15,7%, а о_р = 13,35%.

По формуле (6) определим значение |/, соответствующее желанию инвестора иметь г = 17%,.

И снова по формуле (2) найдем искомую структуру портфеля:

Портфель с такой структурой имеет г_р = 17%, а_р= 15,55%.

И наконец, определим структуру портфеля с риском ст_р = 18%. Такому желанию инвестора соответствует.

Тогда Такой портфель имеет r_p = 18,21%, о_р = 18%.