Операторные методы анализа

Сущность операторных методов. Анализ линейной электрической цепи сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для этих целей можно использовать операторные методы, которые состоят:

=> в переходе от дифференциальных уравнений к вспомогательным алгебраическим уравнениям с помощью некоторого (прямого) преобразования;

=> в поиске решений вспомогательных алгебраических уравнений;

=> в переходе от найденных решений вспомогательных алгебраических уравнений к искомым решениям исходных дифференциальных уравнений с помощью некоторого (обратного) преобразования. Основными понятиями операторных методов являются: => оригиналы, представляющие собой функции времени исходных дифференциальных уравнений и их решений (воздействия и искомые отклики);

=> изображения, получаемые путем (прямого) преобразования оригиналов при составлении вспомогательных алгебраических уравнений по определенным правилам.

Следует указать на два операторных метода анализа линейных цепей:

=> метод Лапласа, в котором переход от оригинала л" (/) воздействия к его изображению Да) и обратный переход от найденного изображения.

решения К ($) к оригиналу y (t) осуществляется с помощью интегральных преобразований;

=> метод ДТ-иреобразований, предложенный Г. Е. Пуховым [45], в котором оригинал x (t) и его изображение Х (к) связаны операцией дифференцирования, а обратный переход от изображения Y (k) к оригиналу y (t) производится на основе ряда Тейлора.

Рассмотрим широко распространенный метод Лапласа.

Операторный метод Лапласа. Проиллюстрируем особенности операторного метода на примере решения дифференциального уравнения.

при нулевых начальных условиях, где а_т, b_n, x (t) — известные величины.

Необходимые сведения по преобразованию Лапласа и его свойствам приведены в параграфе 1.1. Напомним, что прямое преобразование Лапласа позволяет для известной функции Д/), или оригинала, вычислить ее изображение.

а обратное преобразование Лапласа — по известному изображению F (s) функции — ее оригинал /(/), или временную зависимость.

Вычислив преобразования Лапласа (2) для обеих частей уравнения.

(1), с учетом того, что л-кратное дифференцирование оригинала равносильно умножению на s'¹ изображения, получим.

Важнейшей характеристикой, на которой основан операторный метод, является отношение изображений отклика цепи к воздействию K (s) = Y (s)/X (s), называемое передаточной функцией цепи, или операторным коэффициентом передачи. Из (4) находим.

где К₀ = const; s",", s_n,", — нули и полюса передаточной функции K (s), которые являются соответственно корнями уравнений.

В виду вещественности коэффициентов дифференциального уравнения (1) все корни либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары. Если передаточная функция K (s) известна, то поиск отклика y (t) на заданное входное воздействие^/) разбивается на три этапа:

=> переход от оригинала к изображению: д:(/) —> X (s), который осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа (2);

=> определение изображения отклика цепи: У (^) = K (s) X (s);

=> переход от найденного изображения отклика к оригиналу: У ($) —> v (t), который осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа (3) и в общем случае требует вычисления контурного интеграла с применением теоремы о вычетах Коши.

Как следует из (1), (4), операторный метод основан на символической замене оператора дифференцирования dⁿ/diⁿ комплексным числом sⁿ. Его практическая ценность состоит в переходе к алгебраической форме описания электрических цепей (вместо дифференциальных уравнений). Передаточную функция K (s) можно рассматривать как аналитическое продолжение частотного коэффициента передачи К (/(й) с мнимой оси у’О) на всю плоскость комплексных частот s = а + +у'ш. Свойства цепи полностью определяются нулями и полюсами передаточной функции К ($).

Определение оригиналов. Переход от найденного изображения отклика У ($) к оригиналу у (/) требует вычисления контурного интеграла (3) с применением теоремы о вычетах Коши, что в общем случае является достаточно трудоемкой задачей. Поэтому для многих сигналов, встречающихся в инженерной практике, изображения рассчитаны и приводятся в справочной литературе. Для некоторых из них изображения приведены в табл. 1, при этом y (t) = 0 при / < 0.

Д1я перехода от изображения Y (s) к оригиналу y (t) можно использовать формулы обращения (называемые теоремой разложения).

Если в выражении изображения отклика, представленного как (5) в виде отношения двух степенных полиномов.

степень числителя не превосходит степени знаменателя, т. е. М < N и при этом корни знаменателя s"." (полюса) являются простыми, то дробнорациональное изображение (6) можно разложить на простые дроби.

где С" — вычеты в полюсах $_П?Л. Значение С* (к е п) можно найти, если обе части (7) умножить на s — и принять s = s_n^. Тогда в правой части все слагаемые обратятся в нуль, за исключением коэффициента С*. Так как У (.у_П|*) = 0, необходимо по правилу Лопиталя раскрыть неопределенность 0/0. В результате получим.

Таблица 1.

После изменения индекса к на п и подстановки С" (8) в (7) выражение операторной функции принимает вид.

В [22] приведены формулы обращения, когда корень 5_1ип уравнения N (s) = 0 имеет кратность /*, знаменатель изображения N{s) имеет два комплексно сопряженных корня, и для других случаев.