Байесовские и минимаксные критерии принятия решения в условиях неопределенности

Степень неопределенности ситуации, в которой принимается решение, характеризуется объемом и характером информации о предполагаемой полезности тех или иных возможных альтернативных решений. Хорошей иллюстрацией здесь может служить модель описания принятия решения в виде «игры с природой», когда значение функции полезности (или используемой в равной мере ее противоположной величины, называемой функцией потерь) заранее неизвестно и зависит от тех или иных параметров состояния внешней среды.

Дальнейшее рассуждение будем вести в терминах функции потерь I, понимаемой как «полезность со знаком минус», так что ее положительные значения означают, что решение имеет отрицательную полезность, и напротив, если L < 0, то решение обладает положительной полезностью.

Рассмотрим случай, когда множество S возможных состояний внешней среды, влияющих на значение функции потерь, является конечным: S = = {$,…, л’Д. Как и ранее, через X = {x_v …, х_п} будем обозначать конечное множество допустимых альтернативных решений. Функция потерь будет определена, если ее значение задано для каждого элемента множества S х X — прямого произведения множеств возможных состояний внешней среды и возможных решений, принимаемых ЛПР.

• 1 Райфа Г., Шлайфер Р. Прикладная теория статистических решений. М.: Статистика, 1977. 360 с.
• 1

Каждое допустимое решение х е X может быть охарактеризовано величиной L*(x) максимального значения функции потерь в случае, если ЛИР сделал выбор в пользу этого решения.

Отсутствие дополнительных ведений о том, насколько правдоподобно каждое из возможных состояний внешней среды, означает, что ЛПР вынужден принимать решение в условиях полной неопределенности. Единственной, по сути, информацией, которой он располагает, являются значения максимальных возможных потерь L*(x) для каждого из конкурирующих решений хеХ. Вполне естественным в этих условиях будет выглядеть критерий принятия решения, согласно которому выбор следует сделать в пользу того решения х₀ (или тех решений, если их несколько), для которого выполняется

где минимум берется по всем х е X. Таким образом, выбирается то решение, которое минимизирует максимальные потери по всевозможным состояниям внешней среды. Вполне очевиден смысл названия такого рода критериев принятия решений, которые называются «минимаксные"*.

Пример минимаксных критериев.

Пусть требуется заранее заказать некоторый объем расходуемого ресурса (например, определить размер заказа муки для пиццерии или тираж буклетов для стенда на будущей выставке, тогда как спрос на этот ресурс (т.е. число посетителей пиццерии или стенда) заранее неизвестен. Если заказанный объем окажется недостаточен, то заказ кого-то из потенциальных клиентов не будет выполнен и фирма (или ЛПР) понесет убыток. Если же, напротив, заказ слишком велик, то помимо зря потраченных средств на приобретение и доставку данного объема фирма понесет убыток, связанный с утилизацией или обратной транспортировкой, или с хранением оставшегося невостребованным ресурса.

Для наглядности и простоты дальнейшего изложения предположим, что изначально допустимыми решениями являются возможности объема заказа: «малого» (х,), «среднего» (х₂) и «большого» (х₃).

В свою очередь возможные уровни спроса (посещаемости стенда или пиццерии) пусть будет можно подразделить на «низкий» (.s,), «средний» (s₂) и «высокий» (s₃).

Очевидно, каждое из сочетаний значений внешнего фактора S= {s_v s₂, s₃} и принимаемого возможного решения из множества X = {x_v x_v х₃} приводит к определенному значению функции потерь L. Мы не будем уточнять, каким образом можно практически оценить функцию потерь при каждом из возможных сочетаний значений х и s, полагая, что этого можно достичь, примерно оценив расходы на производство и доставку заданного объема ресурса, а также прибыльность продаж (или эффективность распространения буклетов), исходя из имеющегося прошлого опыта. Пусть, например, функция потерь L имеет вид, задаваемый табл. 10.1.^[1]

Исходные данные для примера нахождения решения по минимаксным критериям

Заметим, что среди данных трех решений отсутствуют доминируемые, так что все три возможные решения являются Парето-оптимальными.

Руководствуясь минимаксным критерием, определим для каждого из возможных решений x_v х₂, х₃ наихудший возможный сценарий, при котором потери будут максимальны. В итоге из последней таблицы находим.

Легко видеть, что оптимальным является решение х, при котором максимум потерь равен 20.

Минимаксными критериями разумно пользоваться, когда в распоряжении ЛПР информации мало или когда решается «однократная» задача — например, фирма впервые и, возможно, единственный раз собирается принять участие в малоизвестной выставке. В ряде других ситуаций принятия решения неопределенность возможного состояния внешней среды может быть описана при помощи тех или иных стохастических моделей^[2].

Пусть на множестве S возможных состояний внешней среды задано распределение вероятностей P (s). При этом функция потерь L = L (s, х) становится случайной величиной со своим распределением вероятности, зависящим от решения х е X как от параметра.

Во многих практических задачах, когда принятие решения осуществляется в повторяющихся однотипных условиях, на первый план выходят критерии, основанные на средних значениях. Иначе говоря, если при однократном принятии решения в условиях неопределенности ЛПР скорее всего будет стремиться обезопасить себя от экстремально больших значений ущерба, и это оправдывает применение минимаксных критериев, то в данном случае, когда решение необходимо принимать многократно, важнее минимизировать среднее значение потерь.

Определение

Математическое ожидание E (L (s, .г)) функции потерь, выражающее средний ущерб от принятия решения х е X, называется риском.

Риск от принятия решения х е X при заданном распределении P (s) на множестве 5 будем обозначать как R (P, х)

Байесовским риском R*(P) для заданного распределения P (s) называется точная нижняя грань рисков R (P, х) по всем возможным решениям х е X.

Определение

Таким образом, исходя из последнего определения: R*(P) = iR (P, х)_у где inf обозначает точную нижнюю грань, взятую по множеству всех допустимых решений.

Определение

Решение х* е X, риск от принятия которого равен байесовскому риску, называют байесовским решением для заданного распределения P (s)^x.

Итак, выбор байесовского решения в качестве оптимального является обоснованным критерием в задачах, допускающих описание неопределенности внешних условий при помощи вероятностной модели.

Пример построения байесовского решения.

Пусть некая фирма занимается продажей мороженого на стадионе во время важных спортивных мероприятий. Известно, что реализация единицы продукции приносит ей доход в размере а_х (руб.), а каждая из оставшихся нереализованными единиц приносит убыток в размере а₂ (руб.). Предполагается, что спрос s на мороженое можно описать как случайную величину с известной функцией распределения F_s(s), которая является абсолютно непрерывной.

Требуется принять решение о том, сколько единиц продукции х (х > 0) следует заранее заказать с тем, чтобы средняя величина ожидаемого дохода была максимальной.

Данную задачу будем решать не в терминах функции потерь L (s, х), а в терминах противоположной к ней функции полезности.

которая в данной задаче имеет смысл дохода фирмы, когда было заказано х единиц, а спрос составляет 5 единиц продукции.

С учетом имеющихся исходных данных непосредственно находим, что при s > х

поскольку весь заказанный объем будет реализован, так как он не превышает спрос. Если же спрос меньше, чем объем заказа, т. е. s < х, спрос будет удовлетворен, но часть заказанной продукции останется нереализованной. В силу этого при 5 < х

Далее с помощью функции распределения случайного спроса F_s(s) найдем функцию распределения функции полезности F_v(u).

Прежде всего, отметим, что F_v(u) не является всюду непрерывной, так как имеется значение U= а_{ -x_f которое наблюдается с положительной вероятностью.

¹ Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. М.: Мир, 1974. 491 с.

Для всех остальных значений и имеем.

Таким образом, для всех и, принадлежащих интервалу (-а₂ х, я, -.г), распределение случайного дохода U (s, х) будет иметь плотность.

Это позволяет представить математическое ожидание E (U (s, х)) в виде.

После замены переменной в последнем интеграле найдем производную от выражения E (U (s, х)) по х

Приравняв эту производную к нулю и исследовав найденную стационарную точку на экстремум, находим в итоге, что ожидаемое значение дохода будет максимальным, если объем предварительного заказа х выбран равным значению х*, которое удовлетворяет условию.

Таким образом, в данном примере найдено оптимальное решение, которое максимизирует функцию полезности (доход), т. е. является байесовским¹.

• [1] Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 708 с.
• [2] Зельнер А. Байесовские методы в эконометрике. М.: Статистика, 1980. 438 с.