Линейная свертка критериев. 
Коэффициенты весомости

Сведение многокритериальных задач к однокритериальным. Задача скаляризации многомерного критерия.

Перейдем к рассмотрению методов, применимых в случаях, когда частные критерии f_x(x)_y …, f_m(x) являются числовыми функциями, заданными на множестве альтернатив. Не нарушая общности рассуждения, будем считать все частные критерии «позитивными», так что ЛПР рассматривает альтернативу х_х как более привлекательную по частному критерию/(х), чем альтернатива х₂, если /(*,) > /_;(х₂).

Необходимость принятия решения с учетом всех частных критериев приводит к вполне очевидному заключению, что каждый частный критерий вносит свой «вклад» в итоговую оценку той или иной альтернативы. Для получения такой оценки в явном виде требуется построить функционал, который призван служить в качестве итогового (результирующего, интегрального) критерия.

Определение

Операция построения функционала F, сводящего га-мерный вектор/,(г), …,/_ш(лс) оценок альтернативы х к одному числовому значению, носит название свертка (скаляризация критериев, синтез результирующего показателя и т. п.).

В большинстве случаев построению свертки предшествует выполнение нормирования частных критериев. Суть и смысл этой операции состоит в том, чтобы избавиться от различий в размерности, которая может иметь место у отдельных частных критериев, а также — в приведении множеств их возможных значений к одному и тому же фиксированному числовому отрезку (как правило, отрезку |0, 1]). Это позволяет, в частности, исключить ситуации, когда переход, скажем, от оценок в метрах к оценкам в сантиметрах может повлиять на окончательное решение, принимаемое ЛИР.

В случае «позитивных» частных критериев нормирование осуществляется с помощью преобразования.

^гД^е/(, шп>^и /(max) ^— соответственно минимальное и максимальное значения по /-му частному критерию на множестве альтернатив X. Эти граничные значения на практике определяются либо исходя из содержательного смысла данного частного критерия, либо, когда это затруднительно, их полагают равными, соответственно, наименьшему и наибольшему значению f_i по всем рассматриваемым в данной задаче альтернативам х € X.

Если же частный критерий имеет «негативный» характер (т.е. с ростом его значения предпочтительность данной альтернативы снижается), то нормировка выглядит следующим образом:

При выборе аналитического вида свертки могут быть использованы различные соображения, характеризующие объем и характер информации, которой располагает ЛПР, относительно структуры взаимосвязей между отдельными частными критериями, а также их сравнительной значимости и влияния на качество сравниваемых альтернатив. Вместе с тем можно указать и на некоторые общие требования, которым должен удовлетворять результирующий критерий F= Д/*(х),/₂*(д:),*(х)), ^а именно:

• 2) для результирующего критерия Д/*,/₂*, …,/*)^! выполняются следующие «граничные» соотношения
• 1) для всехх е X должно выполняться

Эти условия, очевидно, означают, что если по всем частным критериям некоторая альтернатива имеет низшую (высшую) оценку, то и по результирующему критерию Fee оценка является самой высокой (самой низкой);

3) функция Д/*,/₂*, …,/*) является монотонно возрастающей по каждому из своих т аргументов.

Последнее условие имеет тот очевидный смысл, что если улучшить показатель альтернативых е Хио какому-либо одному из частных критериев, сохранив при этом ее показатели по остальным, то общая оценка данной альтернативы, измеряемая с помощью результирующего критерия, должна повыситься.

Одним из основных методов построения итогового критерия при помощи свертки является вычисление обобщенных средних по Колмогорову.

Определение

Обобщенным средним по Колмогорову т величин z_v z_v …, z_m называется выражение вида.

где Е— любая строго монотонная функция; G — функция, обратная к функции F.

¹ Здесь и далее, где это не приводит к потере в содержании, будем использовать краткую форму записи: /''(/*,/₂*, опуская указание на конкретное альтернативное решение х е X.

В зависимости от выбора функции F выражение (10.33) может выглядеть по-разному, в частности, принимая вид хорошо известных и применяемых на практике средних величин.

а) Если F (z) = 2, то и G (z) = 2. При этом (10.33) запишется в виде.

т.е. будет равным широко известному среднему — среднему арифметическому.

б) Если F (z) = In 2, то G (z) = ехр (2), тогда (10.33) можно представить в виде что есть ни что иное, как среднее геометрическое данных т величин.

в) Если F (z) = I/2, то обратная функция G (z) = I/2, и при этом (10.33) примет вид который носит название среднее гармоническое.

г) Если F (z) = 2², то G (z) = Vi". При этом среднее по Колмогорову будет равно выражению.

называемому среднее квадратическое.

д) Если F (z) = 2*, то G (z) = Vi~. Получаемое при этом среднее (10.33) записывается в виде.

и называется степенное среднее. Очевидно, (10.37) является частным случаем (10.38), а при k = 1 совпадает со средним арифметическим (10.34). Можно показать, что при k —⁵? 0 степенное среднее (10.38) стремится к среднему геометрическому (10.35). Как нетрудно заметить, во всех перечисленных случаях обобщенные средние, но Колмогорову удовлетворяют указанным выше требованиям 1—3.

Выбор конкретной аналитической формы обобщенного среднего для применения его в задачах свертки критериев во многом зависит от понимания ЛИР характера взаимодействия частных критериев и их влияния на результирующий показатель Е (/*(*),/₂*(:*:), *(х)). Так, среднее арифметическое (10.34) уместно использовать, когда влияние частных критериев можно считать «аддитивным»: каждый из них вносит свой «вклад» в уровень предпочтения той или иной альтернативы, и эти «вклады» суммируются. В других ситуациях может оказаться, что «провал» по хотя бы одному из частных критериев: fj*(pc) —> 0 сразу же приводит к тому, что данное альтернативное решение л: е X становится неконкурентоспособным. В этих случаях более уместным будет использовать среднее геометрическое (10.35) или среднее гармоническое (10.36), так как стремление к нулю хотя бы одного из аргументов //(#) приводит для этих обобщенных средних к тому, что и сам результирующий критерий F (/*,/₂*, …,/*) —* 0.