Стохастическое доминирование. 
Теория принятия решений. 
Том 2

Стохастическое доминирование является одной из концепций оценки ожидаемого дохода (полезности), которая позволяет принимать решения на основе знаний о распределении случайного дохода и отношении к риску ЛПР. Эта концепция используется в теории принятия решений в том случае, когда ожидаемые исходы могут быть проранжированы по предпочтению или с помощью численных характеристик. При этом стохастическое доминирование не обязательно гарантирует полное упорядочение.

Стохастическое доминирование 1-го порядка.

Определение

Пусть F (x) и G (x) — две несовпадающие функции распределения. Говорят, что функция распределения F (x) доминирует функцию распределения С (.г) в смысле стохастического доминирования первого порядка (обозначим это F>_] G), если для любого х выполняется F (x) < G (x).

Для краткости можно использовать термин «первое стохастическое доминирование».

Пусть /'(.г) и G (x) — две несовпадающие функции распределения. Говорят, что функция распределения F (x) строго доминирует функцию распределения G (x) па отрезке [Л, В] в смысле строгого стохастического доминирования первого порядка (обозначим это F>, G), если условие F (x) < G (x) выполняется для любого х е [А, В.

Выражение (15.3) показывает, что при строгом доминировании выполняется D > 0, и ЛПР строго предпочитает случайный доход Е, случайному ДОХОДУ Г|.

Утверждение

Свойство монотонности стохастического доминирования 1-го порядка (М,): если F >, G, то ЛПР предпочитает случайный доход с, доходу р.

Представленное выше утверждение можно доказать исходя из предположения о том, что функция полезности — неубывающая функция (U'(x) >0), и определения стохастического доминирования (F (x) < G (x)). Из условия (15.3) получаем D > 0, и, соответственно, ЛПР предпочитает случайный доход ?, доходу ц. Это утверждение можно интерпретировать как свойство монотонности для стохастического доминирования 1-го порядка (М,).

Условие неприятие риска (risk aversion (RA)). При рассмотрении концепции стохастического доминирования полезно также учесть условие неприятия риска, которое описывает предпочтение ЛПР о выборе безрисковой альтернативы. Например, ЛПР, которое демонстрирует неприятие риска, скорее положит деньги на банковский счет с более низкой процентной ставкой, но который гарантирует постоянный доход, чем вложит деньги в акции, которые, несмотря на то, что дают высокую доходность, несут в себе высокие риски потерь вложенных денег.

Определение

Будем говорить, что функция распределения F получена из функции распределения G растяжением с сохранением среднего (от англ, mean presewing spread), если F (x) и G (x) — две несовпадающие функции распределения, математические ожидания которых равны E (t) = Е (г) = т и F (x) > G (x) для любого х< т, F (x) < G (x) для любого х > т.

Условие неприятия риска можно переписать в следующем виде.

Свойство

Свойство неприятия риска: если функция распределения F (x) получена из функции распределения G (x) растяжением с сохранением среднего, то F > G.

Если определена функция плотности распределения, то они могут выглядеть так, как изображенные на рис. 15.1. Функция плотности с большей дисперсией (см. рис. 15.1, сплошная линия) соответствует функции распределения F, полученной из G растяжением с сохранением среднего. Функции распределения, построенные по таким плотностям, показаны на рис. 15.2. Функция F имеет больший разброс, давая более рисковое распределение.

Рис. 15.1. Две плотности нормального распределения, имеющие одинаковое значение математического ожидания т и разные дисперсии.

Именно поэтому, с точки зрения лица, отвергающего риск, она представляет менее выгодную альтернативу.

Данное определение применимо не только к симметричным распределениям, но и к произвольным.