Метод фазовой плоскости анализа и синтеза систем

Как мы видели, по фазовому портрету системы можно судить о ее устойчивости и характере переходных процессов. Метод исследования систем, основанный на построении их фазового портрета, называется методом фазовой плоскости. Достоинством метода фазовой плоскости является то, что он позволяет наглядно представить всевозможные процессы, происходящие в системе, и является точным, а не приближенным (как, например, метод гармонической линеаризации, который мы рассмотрим далее). Его недостатком является то, что он применим только к системам второго порядка.

Анализ нелинейных систем.

Процесс анализа нелинейных систем методом фазовой плоскости рассмотрим на конкретных примерах.

Нелинейная система с реле с зоной нечувствительности. Система (рис. 2.9, а) описывается следующими уравнениями:

Введем новые переменные: х = е, Х2 = Х. В новых переменных уравнения системы примут вид

Разобьем фазовую плоскость на три области /, //, III прямыми Х = а и х = -а (рис. 2.9, б). В пределах каждой области и = const. Поэтому, разделив в последней системе второе уравнение на первое и проинтегрировав его, получим х = — 2их + С.

В области I (xi < —а) и = —1, и уравнение фазовых траекторий имеет вид х = 2х + С оно определяет семейство парабол, направленных вправо. В области II (|g|| ^ а) и = 0, и уравнение фазовых траекторий имеет вид х = Сг оно определяет семейство прямых, параллельных оси абсцисс. В области III (х > cl) и = 1, и уравнение фазовых траекторий имеет вид х = —2х + Сз; оно определяет семейство парабол, направленных влево.

Как видим, уравнения фазовых траекторий во всех трех областях различаются между собой, и при переходе из одной области в другую через границу происходит переключение с одного вида траекторий на другой. Линии, на которых происходят такие переключения, называются линиями переключения.

На основе полученных уравнений построен фазовый портрет системы (рис. 2.9,6). Как следует из этого рисунка, при ненулевых начальных условиях в системе возникают незатухающие колебания. Амплитуда колебаний зависит от начальных условий, и, следовательно, эти колебания не являются автоколебаниями. Положение равновесия (начало координат) неустойчиво, так как, если принять е < а, то какое бы малое положительное число 6 мы ни выбрали, возмущенное движение, начинающееся внутри сферы радиуса <5, всегда достигает сферы с радиусом е.

Нелинейная система со скользящим процессом. Система (рис. 2.10) описывается уравнениями

= *i, эти уравнения можно пре;

Рис. 2.10. Нелинейная система со скользящим процессом.

Вводя новые переменные х = у, Х2 образовать к следующему виду:

Разделив второе уравнение на первое, получим такое уравнение:

Рис. 2.11. Фазовый портрет нелинейной системы со скользящим процессом.

Прямая, А В на рис. 2.11, которая описывается уравнением &2Я2 + «Ь Х =0, или Х2 = —(1/&2)яь делит фазовую плоскость на две области: область I (k2X2 + Xi > 0) и область II (IC2X2 + xi < 0). Последнее уравнение в области / принимает вид.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

в области II — вид.

Рис. 2.9. Нелинейная система с реле с зоной нечувствительности (а) и его фазовый портрет (б).

Решив эти уравнения, получаем следующие уравнения для фазовых траекторий:

Эти уравнения являются уравнениями парабол, направленных навстречу друг другу. На основе этих уравнений построен фазовый портрет (см. рис. 2.11). Из этого рисунка следует: если изображающая точка не находится на линии переключения (прямая ЛВ), то она до достижения этой прямой будет двигаться по одной из фазовых траекторий. Как только изображающая точка пересечет линию переключения, она попадет на одну из фазовых траекторий, направленных в сторону линии переключения. Поэтому изображающая точка опять будет двигаться в сторону линии переключения, пока не пересечет ее. Как только изображающая точка снова пересечет линию переключения, она опять окажется на фазовой траектории, направленной в сторону линии переключения. Поэтому изображающая точка по достижении линии переключения будет двигаться по ней, теоретически совершая колебания с бесконечно малой амплитудой и бесконечно большой частотой. В действительности, так как реле обладает конечной скоростью переключения, частота не будет бесконечно большой, а амплитуда бесконечно малой.

Таким образом, когда изображающая точка достигнет линии переключения, она теоретически будет скользить по этой линии и двигаться к положению равновесия. Такой процесс называют скользящим режимом.