Дифференцирующие и интегрирующие цепи

Дифференцирующие цепи — это цепи, на выходе которых напряжение пропорционально производной входного напряжения.

Дифференцирующую цепь можно представить в виде устройства, осуществляющего дифференцирование входного сигнала (рис. 3.12, а). Напряжение на его выходе пропорционально первой производной от входного сигнала.

Рис. 3.12. Дифференцирующее устройство (д), дифференцирующая /?С-цепь (б) и эпюры напряжений для идеального (в) и реального (г) импульсов Связь между напряжениями на входе и выходе можно представить в виде следующей формулы:

где К — постоянный коэффициент.

Интегрирующие цепи — это цепи, на выходе которых формируется функция, значения которой соответствуют интегралу от функции времени на входе. На входе цепи изменяется ток или напряжение. Интегрирование происходит по времени, т. е. сигнал на выходе цепочки, интегрирующей входное напряжение U_BX(t'), имеет следующий вид:

где А_И — постоянный коэффициент интегрирования; /' - {0, /} — обозначение параметра времени, протекающего в процессе интегрирования от 0 до /.

Дифференцирующая /?С-цепь — это цепь, состоящая из конденсатора С и резистора /?, на выходе которой напряжение пропорционально производной по времени от входного напряжения (рис. 3.12, б).

При подаче на вход /?С-цепи напряжения, скачкообразно изменяющегося от 0 до ?/, ток в цепи согласно первому закону коммутации и первой формуле (3.1) будет пропорционален производной от входного напряжения и емкости конденсатора:

Падение напряжения на резисторе R будет пропорционально току и сопротивлению:

Таким образом, на выходе /?С-цепи будет напряжение, пропорциональное первой производной от входного напряжения.

Фронт прямоугольного импульса приводит к резкому скачку напряжения на резисторе и соответственно на выходе дифференцирующей цепи (рис. 3.12, в). Затем конденсатор заряжается, и по мере его насыщения происходит спад зарядного тока. Соответственно падает напряжение на резисторе и выходе /?С-цепи. Снижение напряжения на резисторе происходит по экспоненциальному закону с постоянной времени 0 = RC. В момент прохождения среза входного импульса напряжение на резисторе становится равным напряжению на обкладках конденсатора и имеет отрицательный знак (-?/,), так как конденсатор разряжается. По мере разряда конденсатора ток через резистор R и напряжение на его обкладках также уменьшаются по экспоненциальному закону до нуля с постоянной времени 0 = RC.

Реальные импульсы отличаются от идеальных наличием фронта длительностью т_ф и среза длительностью т_с (рис. 3.12, г).

При малых значениях длительности фронта и среза, во время прохождения фронта импульса напряжение на входе RC-цепи линейно возрастает от 0 до U_lf а во время среза — линейно падает от О до Рассмотрим некоторые частные случаи прохождения реального импульса через /?С-цепи.

При малой длительности фронта и среза, по сравнению с постоянной времени ЛС-цепи (т_ф <0 «т), за время действия фронта входного импульса конденсатор не успеет зарядиться и импульсы на выходе близки по форме к импульсам, полученным при прохождении идеального импульса. Исключением являются начальные участки (фронты) выходных импульсов, которые повторяют линейные зависимости фронта и среза входного импульса. При этом амплитуда выходных импульсов ЛС-цспи будет немного меньше амплитуды входного импульса.

При сильно растянутых фронтах и срезах (0 <�т_ф«т), когда входной импульс имеет вид трапеции, конденсатор успевает перезаряжаться и на выходе цепи выделяются только изменения напряжений во время фронта и среза входного импульса. Амплитуда импульсов на выходе ЛС-цепи сильно снижается.

При длительности импульса т, сопоставимой с длительностями фронта, среза и постоянной времени /?С-цепи (треугольный импульс), на выходе дифференцирующей цепи будет сглаженный импульс, напоминающий период синусоиды.

При подаче на вход /?С-цегш напряжения синусоидальной формы ?/"_х(/) = U sin (co/) напряжение на ее выходе будет определяться соотношением реактивного сопротивления конденсатора на данной частоте R_c= 1 /(соС) = 1/(2я/С) и сопротивления резистора R (/ — частота сигнала).

Пример 3.1. Конденсатор имеет емкость С= 1 мкФ. Частота сигнала/= 10 кГц. Реактивное сопротивление конденсатора R_c = = 1/(2я1010³110-⁶)= 10²/(2я) = 15,9 Ом.

Если выбрать резистор с сопротивлением 15… 16 Ом, то на выходе дифференцирующей ЛС-цепи амплитуда сигнала с частотой /= 10 кГц будет составлять примерно половину амплитуды входного сигнала. Более низкие частоты будут проходить с меньшей амплитудой, а более высокие — с большей амплитудой, вплоть до амплитуды входного сигнала. Это объясняется тем, что для низких частот реактивное сопротивление более высокое и падение напряжений больше на конденсаторе, чем на резисторе. Наоборот, на более высоких частотах реактивное сопротивление конденсатора меньше и падение напряжения больше на резисторе.

Пример 3.2. Длительность импульса т= 1 мс, а длительность его фронта т_ф= 1 мкс. Требуется получить импульс длительностью 2 мкс.

Для получения такого импульса используем /?С-цепь. Фронт входного импульса на выходе ЛС-цепи сформирует линейно нарастающее напряжение длительностью 1 мкс (см. рис. 3.12, г). Необходимо, чтобы срез выходного импульса также составлял 1 мкс. Для этого выберем параметры RC-цепи. Возьмем R = 50 Ом. Постоянная времени 0= RC= 1 мкс. Следовательно, емкость конденсатора можно определить по следующей формуле: С=0//?. Подставляя значения 0 и /?, получим С- 1 • 10″⁶/50 = 0,02 мФ.

Определим граничную частоту, ниже которой частоты резко ослабляются и не проходят через /?С-цепь. Эту частоту можно определить, используя формулу R_c= 1((оС)= 1/(2я/С). Задавая граничное значение R_c= R= 50 Ом, найдем/= R_c/(2nC) = 50/(2я-2−10^-8) = = 4−10'⁸ Гц = 400 МГц.

При рассмотрении работы дифференцирующей цепи важно учитывать внутреннее сопротивление генератора импульсов R_r и емкость нагрузки С". Сопротивление генератора /?, приводит к уменьшению напряжения на выходе ЛС-цепи, так как начальный скачок входного напряжения (У, делится между сопротивлениями R и R_r В результате напряжение на выходе.

Кроме того, возрастает постоянная времени цепи 0= С (/?+ /?_г), что приводит к дополнительному увеличению длительности выходных импульсов.

Емкость нагрузки С_н шунтирует выход дифференцирующей /?С-цепи и приводит к уменьшению амплитуды импульсов на выходе и удлинению их среза. Перепад входного напряжения импульса U_} делится между емкостями С_н и С следующим образом:

Таким образом, емкость нагрузки С_н приводит к снижению амплитуды импульсов на выходе. Увеличение длительности спада выходного импульса связано с накоплением заряда в емкости нагрузки и последующим разрядом через резистор R и сопротивление нагрузки.

Дифференцирующие ЛС-цепи часто используют в сочетании с амплитудными ограничителями, линиями задержки и ждущими генераторами для умножения частоты следования. Применяются они в качестве разделителей каскадов в импульсных, звуковых и высокочастотных усилителях.

Для устранения недостатков, свойственных дифференцирующим /?С-цепям, применяют операционные усилители (ОУ). RC- цепь подключают непосредственно к входу и выходу интегральной микросхемы. Чем больше коэффициент усиления ОУ, тем больше разница входного напряжения и напряжения на конденсаторе, а ток заряда конденсатора больше соответствует производной входного сигнала. Одновременно происходит усиление выходного сигнала. Следует отметить, что дифференциатор на микросхеме ОУ приводит к резкому увеличению помех, сопровождающих сигналы, а также склонен к самовозбуждению. Для устранения этих явлений требуется введение сглаживающих цепей и отрицательной обратной связи в ОУ.

В интегрирующих цепях используется способность конденсатора накапливать и сохранять электрический заряд. Если на вход интегрирующей цепи подать постоянное напряжение U_BX(t) = t/|, то через сопротивление потечет ток /_Л = UJR и конденсатор будет плавно заряжаться (рис. 3.13, а). Напряжение на выходе конденсатора нарастает по линейному закону пропорционально току в цепи и обратно пропорционально емкости конденсатора С, что соответствует интегрированию постоянной U_X/CR

Такая линейная зависимость выходного напряжения от времени t и входного напряжения U_x соблюдается только на начальном участке, так как далее конденсатор насыщается до напряжения U_c, и ток в цепи будет следующим: /* = (U.U_c(t))/R. В выражении для тока появилась зависимость от выходного напряжения 7/_вых(/)" U_c(t). При этом линейная зависимость напряжения от времени на выходе цепи будет нарушаться и приближаться к экспоненциальной.

При нулевом напряжении на входе напряжение на выходе интегратора равно нулю (рис. 3.13, б). При появлении напряжения U на входе (верхнее плато импульса) напряжение на выходе начнет линейно нарастать до момента окончания импульса. После окончания импульса напряжение на выходе цепи будет уменьшаться за счет разряда конденсатора через сопротивление нагрузки /?".

Ток в интегрирующей ДС-цепи при произвольном напряжении на входе будет следующим:

В общем случае напряжение на выходе интегрирующей цепи можно записать в следующем виде:

При (/_оых(0 << UM на выходе интегрирующей цепи.

где верхний предел интегрирования / = т.

Таким образом, на выходе интегрирующей ДС-цспи напряжение пропорционально интегралу от функции времени входного напряжения. Все эти выводы действительны, когда разница между входным и выходным напряжениями велика. При насыщении конденсатора принятые условия не выполняются и интегрирование идет с ошибкой. Кроме того, в реальных цепях сказывается влияние сопротивления нагрузки Д_н. В частности, после окончания импульса напряжение на выходе интегрирующей ДС-цепи должно оставаться постоянным (пунктир 1 на рис. 3.13, б). В действительности оно уменьшается за счет разряда конденсатора через сопротивление нагрузки R_H (сплошная линия 2).

Все перечисленное приводит к большим ошибкам интегрирования ДС-цепи. Например, при интегрировании импульсной последовательности (рис. 3.13, в) на входе должна получаться ступенчато возрастающая функция. В действительности на выходе реальной интегрирующей ДС-цепи будет волнообразная кривая.

IU0).

Анализируя параметры /?С-цепи, отметим, что чем больше емкость конденсатора, тем точнее будет интегрирование. Однако при этом снижается амплитуда выходного сигнала и требуются дополнительные каскады усиления. Обычно емкость конденсатора в интегрирующих /?С-цепях составляет 1 … 10 мкФ, а сопротивление резистора — 10… 1000 Ом.

Сильное изменение формы импульса при его прохождении интегрирующей ЛС-цспи легко объяснить по спектру импульса и амплитудно-частотной характеристике цепи. При постоянной времени интегрирующей ЛС-цепи большей, чем длительность импульса (0= RC « т), реактивное сопротивление конденсатора R_c= = 1/(о)С)= 1/(2я/С) на частотах более 100 Гц оказывается намного меньше сопротивления резистора. Вследствие этого большая часть изменения напряжения выделяется на резисторе, а не на конденсаторе, с обкладок которого снимается выходное напряжение. Только низкочастотные составляющие U_BX(t) будут иметь искажения на выходе ?/_вых(0 интегрирующей цепи. Таким образом, напряжение на обкладках конденсатора интегрирующей RC-цепи сглаживается, а прямоугольные входные импульсы превращаются в линейно изменяющееся напряжение. Последнее свойство используется в генераторах пилообразных напряжений.

Рассмотренный интегратор на /?С-цепи правильно интегрирует только в течение малого промежутка времени, пока конденсатор далек от насыщения, а затем начинаются нелинейные искажения. Чтобы расширить область правильного интегрирования применяют электронный интегратор.

Электронный интегратор — это операционный усилитель (см. подразд. 3.9), в котором интегрирующий конденсатор С включен между входом и выходом (рис. 3.14, а). Благодаря конденсатору.

Рис. 3.14. Электронный интегратор на основе операционного усилителя с /?С-цепью (а) и эпюры напряжений при импульсной последовательности (б) на входе возникает сильная обратная связь между входом и выходом операционного усилителя. Вместе с тем операционный усилитель имеет высокий коэффициент усиления К. Между входным и выходным напряжениями существует следующая зависимость:

Одновременно выполняются следующие условия: К «7, ««,.

/?_вых мало по сравнению с R_BX.

Благодаря упомянутым условиям и отрицательной обратной связи эквивалентная постоянная времени /?С-цепи увеличивается в (1 + К) раз:

Увеличение постоянной времени эквивалентно увеличению емкости в (1 + ЛГ) раз. Соответственно во столько же раз увеличивается участок правильного времени интегрирования входной функции.

Современные интегральные микросхемы операционных усилителей имеют коэффициент усиления до 10 000. Соответственно увеличивается и постоянная времени в 10 000 раз, что вполне удовлетворяет требованиям точного интегрирования в аналоговых вычислительных устройствах.

Эпюры напряжений входного и выходных сигналов при подаче на вход электронного интегратора импульсной последовательности показывают, что во время входного импульса напряжение на выходе интегратора линейно нарастает, а в промежутке между импульсами хорошо сохраняется последнее значение остаточного напряжения (рис. 3.14, б). Последующие импульсы приводят к регулярному увеличению напряжения, обеспечивающего режим точного интегрирования в соответствии с формулой (3.33). Таким образом, электронный интегратор с достаточной точностью выполняет интегрирование произвольных входных функций и импульсных последовательностей по сравнению с работой интегрирующей ЛС-цепи.