Наблюдатели пониженного порядка
В это уравнение входит производная у. Чтобы избавиться от нее, введем новую переменную q = р — Ку. Продифференцировав это соотношение, затем подставив выражение для р из (10.13) и р = = q + Ку, получим уравнение (10.11). Исключив из (10.9) переменную р, получим соотношение (10.10). Начальное условие. Доказательство. Сначала найдем наблюдатель, который в качестве одного из уравнений включает… Читать ещё >
Наблюдатели пониженного порядка (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рассмотрим стационарную систему 
где х — n-вектор, у — р-вектор, причем га > р, А, В, С — матрицы соответствующей размерности. Пусть матрица С имеет максимальный ранг, т. е. р. Тогда уравнение наблюдения дает р независимых линейных уравнений для неизвестного вектора состояния x (t). Чтобы определить х (?), необходимо получить дополнительно п — р уравнений для координат этого вектора.
является невырожденной Введем в рассмотрение (п — р)-вектор р (?), определяемый соотношением.
С
С
где матрица С' такова, что матрица (неособой). Из уравнения.
находим Используя представление.
где L и Z/2 — (п х р) — и [п х (п — р)]-матрица соответственно, получаем 
Если получить оценку р для введенного вектора, то для оценки фазового вектора имеем.
Таким образом, задача восстановления фазового вектора свелась к задаче восстановления вектора р меньшей размерности. Используя определенные выше матрицы С L и L2, можно определить искомый наблюдатель.
Теорема 10.2 [29]. Наблюдатель пониженного порядка для управляемой системы (10.5) имеет вид
где К — произвольная матрица.
Наблюдатель пониженного порядка (10.10), (10.11) называют наблюдателем Луенбергера.
Доказательство. Сначала найдем наблюдатель, который в качестве одного из уравнений включает уравнение (10.9). Для этого достаточно построить наблюдатель для переменной р. Найдем для этой переменной дифференциальное уравнение. Дифференцируя (10.6) и используя (10.5), получим.
или, с учетом (10.8),.
Чтобы построить наблюдатель для р, основываясь на теореме 10.1, необходимо добавить к уравнению (10.12) уравнение наблюдения. Примем в качестве такого уравнения уравнение, которое получается дифференцированием исходного уравнения наблюдения у = Сх с учетом (10.8^: 
При таком уравнении наблюдения наблюдатель для объекта (10.12) по аналогии с наблюдателем (10.3) для системы (10.2) можно представить в виде.
В это уравнение входит производная у. Чтобы избавиться от нее, введем новую переменную q = р — Ку. Продифференцировав это соотношение, затем подставив выражение для р из (10.13) и р = = q + Ку, получим уравнение (10.11). Исключив из (10.9) переменную р, получим соотношение (10.10). Начальное условие.
определяется исходя из соотношения (10.6) и равенства q = р — Ку. Теорема доказана.
Пример 10.1. Построить наблюдатели полного и пониженного порядков для управляемой системы.
Решение. В данном случае имеем.
Как следует из (10.3), наблюдатель полного порядка имеет вид.
или, в скалярной форме,.
Для построения наблюдателя пониженного порядка необходимо определить матрицы С", Li, L2. Матрица С' должна быть такой, чтобы квадратная матрица была невырожденной. В остальном она может быть произвольной. Условию невырожденности указанной выше квадратной матрицы удовлетворяет матрица С = (0 1). Из соотношения (10.7), которое в данном случае принимает вид находим 
Подставив выражения для А, Б, С, С Ь и L2 в (10.10) и (10.11), получим 
Напомним, что матрица К или, в случае наблюдателя пониженного порядка, скалярная величина к выбирается из условия устойчивости и требований к качеству наблюдателя.