Эквивалентные схемы магнитных систем с синусоидальными источниками

Многие магнитные системы электротехнических устройств предназначены для работы под воздействием источников синусоидальных или периодических токов. При этом циклическое перемагничивание сердечников из ферромагнитных материалов, обладающих петлей гистерезиса, приводит к необратимым потерям энергии в магнитной системе. Переменные магнитные поля индуцируют ЭДС, которые в проводящих магнитных сердечниках создают вихревые токи, приводящие к образованию потерь энергии.

Изменение состояния материалов магнитопроводов оказывает влияние на значения магнитных потоков и, следовательно, параметры электрических эквивалентных схем.

Типичным примером использования магнитопроводов, работающих в системах синусоидального тока, являются широко распространенные катушки индуктивности (рис. 5.4, а).

Рис. 5.4. Катушка индуктивности (я), кривая намагничивания материала (б) и зависимости величин от времени (в) Вследствие нелинейной зависимости потокосцепления Т = Л^Ф от подводимого тока 'F (i) (рис. 5.4, б) при синусоидальном токе зависимость потокосцепления Т (?) от времени будет отличаться от синусоиды (рис. 5.4, в). Аналитическое выражение зависимости несложно получить при кусочно-линейной аппроксимации характеристики сердечника.

При этом моменты изменения состояния сердечника вычисляются из соотношений.

С использованием гармонической линеаризации полученную периодическую функцию *F (?) заменяют эквивалентной синусоидой с амплитудой = 44^/я и начальной фазой.

Среднее значение напряжения на индуктивности при перемагничивании сердечника по симметричному циклу можно вычислить по известному максимальному изменению потокосцепления 4^х_т из очевидного выражения.

Ненулевое значение начальной фазы эквивалентной синусоиды потокосцепления, обусловленное наличием гистерезиса характеристики материала, дает составляющую активной мощности, которая зависит от площади петли гистерезиса:

Если магнитный материал обладает проводящими свойствами, то наводимая под действием переменного магнитного потока ЭДС создает в сердечнике вихревые токи, приводящие к потерям энергии. Мощность потерь на вихревые токи и на гистерезис зависит от массы т сердечника, его конструктивных параметров, учитываемых с помощью коэффициентов? и г соответственно, а также индукции насыщения В_т и частоты сигнала /:

Приведенные соотношения, описывающие процессы в ферромагнитном сердечнике, используют для построения эквивалентной электрической схемы нелинейной катушки индуктивности. При этом учитывают, что переменный ток проходящий по обмотке, возбуждает намагничивающую силу, создающую магнитный поток Ф_1? основная часть которого Ф₀ замыкается по магнитопроводу и связана с током нелинейной зависимостью. Некоторая доля магнитного потока Ф_л выходит из сердечника и замыкается преимущественно по воздуху. Эту составляющую магнитного потока можно считать линейно зависящей от тока: Л^Ф₅ = L_si.

Таким образом, основываясь на методе гармонической линеаризации, можно записать уравнения состояния для комплексных изображений действующих значений в форме.

из которой следует, что приложенное к катушке напряжение содержит составляющие, обусловленные магнитным потоком в сердечнике 0_лф (1), падением на индуктивном сопротивлении рассеяния jcoLJi и сопротивлении провода обмотки rl_{. Полученное уравнение описывает эквивалентную электрическую схему нелинейной катушки индуктивности (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Эквивалентная схема катушки с сердечником.

Напряжение 11_ф приводит к появлению тока, который можно представить в виде суммы реактивной /_р и активной /_а составляющих. В эквивалентной схеме эго нашло отражение в форме индуктивной проводимости, определяемой реактивной (намагничивающей) мощностью b = QJUф, и резистивной проводимости, связанной с потерями в сердечнике, g = Р/1/_ф. Значения удельных мощностей (2о = Q/m и Pq = Р/т для магнитных материалов при различных частотах перемагничиваиия / и амплитудах индукции магнитного поля В_т можно найти в электротехнических справочниках.

При расчете устройств с ферромагнитными сердечниками методом гармонической линеаризации преимущественно используют комплексные изображения действующих значений электрических и магнитных величин. Поэтому обычно записывают зависимость от амплитуды магнитного потока не среднего, а действующего значения напряжения 0_Ф =ji/i^/if Ф,"Л^.

Из анализа магнитной цепи следует, что индуктивность намагничивания = Л'|Ф/г может быть выражена через магнитное сопротивление или магнитную проводимость Л = Ф/И_м в виде = = Л^Л.

Трансформатор конструктивно можно представить как катушку индуктивности с размещенной на ферромагнитном сердечнике второй обмоткой с N₂ витками (рис. 5.6, а).

Эквивалентная электрическая схема трансформатора наряду с элементами, отражающими создание магнитного потока первич;

Рис. 5.6. 1 рансформатор с ферромагнитным сердечником (а) и его эквивалентная схема (б).

ной цепыо, содержит компоненты, учитывающие наличие вторичной обмотки (рис. 5.6, б).

При описании процессов в первом приближении обычно пренебрегают электрическими и магнитными потерями, индуктивностями рассеяния и емкостными связями. Указанные допущения с приемлемой точностью выполняются для правильно спроектированного трансформатора, работающего при не слишком высоких частотах синусоидального напряжения.

В этом случае действующие значения приложенного напряжения и магнитного потока связаны уравнением U_{ =jcoN_{0. Реализующий индуктивную связь магнитный поток Ф₀ проходит через обе обмотки, в результате чего на вторичной обмотке наводится напряжение U₂ =7cojV₂Oo.

При разомкнутой вторичной обмотке (/₂ = 0) соотношение напряжений на входе и выходе определяет коэффициент трансформации.

Подключение нагрузки Z_H приводит к появлению тока во вторичной цени

который изменяет намагничивающую силу.

Этот эффект принято учитывать при назначении параметров элементов эквивалентной схемы трансформатора. Эквивалентность подразумевает неизменность магнитного потока во всех режимах работы при изменении нагрузки, в том числе при отсутствии тока /₂. Токи первичной и вторичной обмоток трансформатора создают намагничивающую силу V_M = IN_{ — I₂N₂. Условия эквивалентности приводят к соотношению.

В эквивалентной электрической схеме в качестве искомых величин приняты токи ветвей, для которых из приведенного соотношения можно получить равенство 1_{ — 1₂/п = /₀, которое фактически описывает уравнение токов в узле.

Принятые допущения при преобразовании выражений для входного и выходного напряжений дают соотношение U/U₂ = = N/N₂ = п, с помощью которого несложно получить уравнение для нагрузки в виде U = nU₂ = nI₂Z_u. Замена реального вторичного тока на преобразованный /₂ = пГ₂ приводит к уравнению.

в которое входит преобразованное комплексное сопротивление нагрузки Z,', = п Z_u.

Уточнение эквивалентной схемы в первую очередь заключается в учете индуктивностей рассеяния и сопротивлений потерь. При этом следует для индуктивности рассеяния вторичной цепи, в которой принят ток /₂, установить приведенное значение L'_s2 = n²L_s2. Полученным соотношениям соответствует эквивалентная схема с приведенными к первичной обмотке параметрами трансформатора, в которой выходное напряжение вычисляется по формуле [/₂ = т?[/₂. Очевидно, что мощность^ можно вычислять непосредственно из приведенной схемы:S₂ = U2I2 ⁼ Щ12 •.

При увеличении частоты воздействия увеличивается влияние емкостных связей и проявляются динамические свойства перемагничивания сердечника, которые также приводят к необходимости дальнейшего усложнения эквивалентных схем катушки и трансформатора.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Что представляет собой магнитная система, и с какой целью она применяется в электротехнических устройствах?
• 2. Каковы условия допустимости перехода от магнитной системы к эквивалентной магнитной цепи?
• 3. Сформулируйте уравнения магнитной цепи и приведите соотношения, на основе которых они получены.
• 4. Какое устройство называется постоянным магнитом?
• 5. Приведите эквивалентную схему катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником для синусоидальных величин и поясните физическую суть элементов.
• 6. Дайте математическое описание элементов эквивалентной схемы нелинейного трансформатора.