Случайные величины. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины

В гл. 1 мы уже встречались со случайными экспериментами, в результате которых случайным образом получаются числа. Например, номер извлеченного из лототрона шара (примеры 1.1 и 1.2), число космических частиц, попавших в корабль (пример 1.3), и т. д. Рассмотрим еще один пример.

Пример 2.1. Во введении мы описали одну из разновидностей лотереи — спортлото. Выигрыш участника лотереи определяется тем, какой исход реализовался в результате розыгрыша. Если он угадал не больше двух чисел, то его выигрыш равен 0. Начиная с трех угаданных чисел, его выигрыш будет отличным от нуля и тем выше, чем больше чисел он угадал. Таким образом, каждому элементарному исходу поставлено в соответствие число — выигрыш участника лотереи, т. е., другими словами, на множестве элементарных исходов определена числовая функция.

Дадим определение случайной величины. Пусть (Q, 2Й, Р) — произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется действительная функция ^ = ^(со), определенная на множестве Q такая, что при любом действительном х_у событие.

Поясним необходимость условия (2.1). Дело в том, что в дальнейшем придется столкнуться с необходимостью находить вероятности тех или иных событий, определяемых случайными величинами (например, {со: %(со) > х} или {со: Х ^ ^(со) < х₂}). Напомним, что вероятность Рбыла определена только для событий А и В. Поэтому если не накладывать условие (2.1), то может оказаться так, что событие, определяемое случайной величиной не принадлежит 2Й и, следовательно, вероятность его не определена.

Пример 2.2. Покажем, что события {со: q (co) >х} и {аз: Х < q (co) <�х₂) принадлежат Указанные события можно представить в виде.

Так как множество ^ является алгеброй событий, то правые части написанных равенств принадлежат, а следовательно, и левые части принадлежат.