Особые точки плоских кривых

1. Особой точкой М (х0,y0) плоской кривой F (x, y) = 0 называется такая точка, координаты которой удовлетворяют трём уравнениям

F (x0, y0)=0, F’x (x0,y0)=0, F’y (x0,y0)=0.

При исследовании основных типов особых точек вводят обозначения A=F'xx (x0,y0), B=F'xy (x0,y0), C=F'yy (x0,y0), не все равные нулю и D=AC-B2.

Если D>0,то M0 — изолированная точка риcунок 1.

Рисунок 1 Рисунок 2.

Если D<0,то M0 -узел, т. е. двойная точка рисунок 2.

Если D=0, тоM0-точка возврата первого рода рисунок 3 или второго рода рисунок 4 или точка самоприкосновения рисунок 5, или изолированная точка.

Рисунок 3 Рисунок 4.

Для решения вопроса о виде особой точки необходимо рассмотреть расположение точек кривой в окрестности особой точки. Угловой коэффициент касательной к кривой в особой точке может быть найден из выражения Ск2+2Вк+А=0.В случае изолированной точки касательных нет; в узловой точке — две различные касательные; в точке возврата или самоприкосновенияодна общая касательная к обеим ветвям кривой.

Рисунок 5.

2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

x= ц (t), y=ш (ш) и при t=t0 x'0= ц'(t)=0 и y'0=ш' (y0)=0 имеет место особая точка.

Пусть хотя бы одна из производных второго порядках x" 0, у" 0 отлична от нуля, например х" 0>0,тогда на лицо точка возврата.

Если х0″ 'у0″ - х0″ у0″ '+0 ?0, то M0 — точка возврата первого рода;

если х0″ 'у0″ - х0″ у0″ '=0 точка возврата второго рода.

В случае трансцендентной кривой могут встретиться и другие виды точек: угловые точки, точки прекращения и т. д.