Цепи второго порядка на переключаемых конденсаторах

Для построения SC-цепей второго порядка с передаточной функцией общего вида.

используются типовые звенья с разными свойствами. На рис. 8.7.1 , а приведена обобщенная схема SC-цепи второго порядка, построенная на двух типовых звеньях, нечувствительных к паразитным емкостям. Для наглядности каждая пара ключей заменена одним ключом на два положения, при этом указанное положение ключей соответствует четным фазам (е), в нечетных фазах (о) ключи переходят в другое положение. В этой схеме по сравнению с активным трехкаскадным Л С-прототипом отсутствует инвертирующий усилитель благодаря использованию SC-инвертора на переключаемом конденсаторе А. Несмотря на аналогию, активные SC-цепи предоставляют более широкие возможности при разработке фильтров. В частности, в них отсутствует ограничение па количество конденсаторов, которое накладывается в RC- фильтрах (в прототипе их два) из-за необходимости подгонки номиналов емкостей.

В каждом типовом звене, построенном на операционном усилителе (ОУ1, ОУ2), во входной цепи включено два переключаемых конденсатора (G, Н и /,/). С их помощью формируются нули передаточной функции. Покажем на примере цени с конденсаторами 1J (рис. 8.7.2, а), как влияют на топологию значения их емкостей. Топология цепей при разО) го.

Рис. 8.7.1. Обобщенная схема 5С-звена второго порядка:

а — полная схема, соответствующая ЛС-аналогу на трех ОУ; б — схема с минимальным числом ключей со личном соотношении емкостей / и / показана на рис. 8.7.2, 6. Необходимым условием эквивалентности схем на рис. 8.7.2, а и б является подключение зажима 1 к источнику напряжения, а зажима 2 к виртуальной земле (инверсному входу операционного усилителя). Итак:

• • если / > /, то конденсатор с емкостью I можно заменить переключаемым конденсатором с емкостью I -/, а конденсатор с емкостью/ — непереключаемым конденсатором с таким же значением емкости (см. рис. 8.7.2, б);
• • если / = /, то цепь вырождается в конденсатор с постоянной емкостью J = I (см. рис. 8.7.2, б);
• • если / > /, то конденсатор с емкостью / можно заменить переключаемым конденсатором с емкостью/ - /, а конденсатор с емкостью I — непереключаемым конденсатором с таким же значением емкости.

Цепь с переключаемыми конденсаторами можно представить в виде эквивалентной схемы, приведенной на рис. 8.7.2, в.

Таким образом, путем выбора емкостей конденсаторов / и/, а также G и Я можно изменять структуру схемы, уменьшать или полностью исключать управляемые ключи, а также уменьшать емкости переключаемых конденсаторов.

На практике применяют модифицированный вариант схемы с меньшим числом ключей (рис. 8.7.1, б), в которой исключены синфазно работающие ключи.

Для конкретизации коэффициентов в (8.7.1) и рассмотрения частных случаев выполним анализ схемы на рис. 8.7.1, б, полагая при этом, что (рис. 8.7.3, а):

• • ключи управляются двумя ненерекрывающимися импульсными последовательностями Ф_е и Ф₀ со скважностью, равной двум;
• • входное напряжение U_x остается постоянным на протяжении всего периода Т_С = 2Т взятия выборок;
• • управление ключами согласовано с входным сигналом и начинается с четной фазы Ф_е, как показано на рис. 8.7.2, а, поэтому входное напряжение и напряжения на выходах операционных усилителей нечетной и четной фаз связаны между собой следующим соотношением: U° = z^-1/² U^e. Информация о свойствах цепи содержится в передаточной функции для четных компонентов напряжения, поэтому индекс е в приводимых ниже формулах не используется.

Выражения передаточных функций можно получить с помощью эквивалентной схемы^{С-звена} в z-области, предat

сл.

Рис. 8.7.2. Исходная 5С-цень («), ее вид при различных значениях / и/ (б) и эквивалентная схема (в).

от от.

Рис. 8.73. Управляющие и входной сигналы (а) и схема замещения звена второго порядка в г-области (б).

Напряжения Щ и Щ зависят только от отношения емкостей С, А Е, G, Я и А, В, F, I, J отдельной группы, поэтому емкости каждой группы выбирают (масштабируют) независимо друг от друга. Наиболее часто принимают A=B=D=1. С помощью конденсаторов В и D контролируется суммарная емкость интеграторов (на инвертирующих входах операционных усилителей). Емкость А определяет коэффициенты масштабирования. Другие емкости выбираются исходя из получения наибольшей амплитуды на выходе усилителей (расширения динамического диапазона). При А = В = D = 1 передаточные функции (8.7.2) принимают вид ставленной на рис. 8.7.2, 6 [15]. В результате анализа этой схемы методом узловых зарядов получим.

Свойства передаточных функций. Как следует из (8.7.3), полюсы обеих передаточных функций совпадают и определяются емкостями С, Е, F. Нули передаточной функции H (z) можно выбирать независимо от полюсов, поскольку они зависят от емкостей G, Я и /,/. Кроме того, отсутствие связи между емкостями числителя свидетельствует о том, что их значения можно выбирать независимо друг от друга. Такое свойство не присуще активным FC-фильтрам. Между емкостями числителя передаточной функции Hz) существуют связи, поэтому они выбираются по более сложным правилам.

Емкости Е и F предназначены для демпфирования. Используя только Е (F = 0) или только F (Е = 0), можно реализовать устойчивые^{С-звенья.} Звенья типа Е и типа F широко применяются при синтезе фильтров [15]. При F= 0 в (8.7.3) получим передаточные функции H_E(z), H_E(z) для F-схемы звена второго порядка, а при Е = 0 — передаточные функции H_F(z), Hp (z) для F-схемы. Следовательно, возможно четыре различных способа реализации заданной передаточной функции звена второго порядка.

Выбор емкостей. Рассмотрим порядок выбора емкостей SC-звеньев второго порядка по аналоговому прототипу.

Если знаменатель скорректированной передаточной функции прототипа в 5-области имеет вид.

то, подставив в (8.7.4) вместо s его выражение согласно выбранному способу преобразования (перехода от 5 к z) и приравняв коэффициенты полученного полинома коэффициентам знаменателя передаточной функции H (z) при соответствующих степенях 2, можно найти емкости конденсаторов Е- и F-схемы. При использовании билинейного преобразования для F-схемы выражения для емкостей Е и С имеют следующий вид [15]:

Если знаменатель передаточной функции прототипа D (z) = 1 + az~^{ + рz~² (8.7.1), то выражения для F, С определяются приравниванием коэффициентов а, р коэффициентам полиномов знаменателей функции Я_?(г). Эти выражения имеют вид

Значения G, Я, I, J можно найти по требуемому расположению нулей или коэффициентам числителя передаточной функции. Для этого в справочниках имеется набор расчетных выражений для Е- и F-цепей, которые охватывают случаи реализации всех возможных передаточных функций. Там же указаны условия упрощения схемной реализации, полученные приравниванием к нулю максимально возможного числа емкостей G, Я, I_yJ. Поэтому, выполнив эти условия, можно уменьшить число конденсаторов. Кроме того, там, где возможно, используют ограничения G = Я, I-J.