Общий подход к решению задач методом конечных элементов (МКЭ)

Любую непрерывную величину (температура, давление, перемещение) можно аппроксимировать рядом кусочно-непрерывных функций, задаваемых своими граничными значениями. В общем случае непрерывная величина неизвестна и надо определить ее значения для ряда величин ее аргументов (например, х, у, z) — Для этого в области значений аргументов фиксируется ряд точек, называемых узлами. Подобласти, получаемые при соединении узлов, называются элементами.

Выражение исходной функции записывается для каждого узла. Решение получившейся при этом системы уравнений дает узловые значения искомой функции. Значения функции между узлами аппроксимируются кусочно-непрерывными функциями. Вид этих функций определяется функциями формы, представляющими собой полиномы, число членов которых определяется числом узлов в элементах. Функция формы представляется плоскостью для треугольного элемента. При увеличении числа узлов в элементе функция формы представляется криволинейной поверхностью.

Основная идея метода конечных элементов (МКЭ) состоит в замене системы интегральных или дифференциальных уравнений системой линейных алгебраических уравнений. Чаше всего из нескольких уравнений формируется одна целевая функция. В поле аргументов выбирается сетка узловых значений, в которых надо найти значения неизвестного параметра целевой функции.

Метод конечных элементов численный, приближенный. Его задача — найти значения неизвестной функции для определенных фиксированных (узловых) значений аргументов и последующей аппроксимации значений этой функции между узлами.

Переход от системы интегральных или дифференциальных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений связан со сложными математическими преобразованиями. Но этот этап в развитии метода конечных элементов давно пройден. Стандартный вид системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде [/Г]{Л) = {F}, где {X} — вектор неизвестных; {Т⁷} — вектор правых частей уравнений (свободных членов); [К[— матрица коэффициентов при неизвестных, часто называемая матрицей жесткости. Физический смысл уравнений может быть любой, но алгоритм решения остается почти неизменным. Коэффициенты при неизвестных определяют по сложным, зачастую интегральным, но однотипным выражениям в каждой области применения МКЭ.

На ранней стадии развития метода конечных элементов узловые значения определялись минимизацией интегральной величины, связанной с физическим процессом. В задачах механики деформируемого тела, например, минимизировалась потенциальная энергия системы. В результате исходные уравнения сводились к системе алгебраических уравнений, которые можно разрешить относительно узловых перемещений. В задачах теории поля (перенос теплоты, течение грунтовых вод, расчет магнитных нолей и др.) минимизировался некоторый функционал, при котором любая минимизирующая его функция удовлетворяет как исходным дифференциальным уравнениям, так и граничным условиям. Позднее для вывода системы уравнений, определяющих узловые значения искомых параметров, стали использоваться методы взвешенных невязок. Один из них, метод Бубнова-Галеркина, рассмотрим в нашей задаче.

На рис. 23.9 изображена поверхность функции напряжений Прандтля (неизвестной в начале решения задачи). Поперечное сечение стержня разбито на треугольные элементы. В вершинах (узлах) каждого элемента найдены узловые значения функции Прандтля Ф, Ф₂, Ф₃. Поверхность функции напряжений аппроксимируем набором треугольников. Значение функции напряжений в произвольной точке поперечного сечения можно приближенно найти по уравнению связи.

Рис. 23.9. Аппроксимация поверхности функции напряжений набором плоских треугольников.

Функции формы N определяются по выражению (23.1).

N_f =—^—(a_jy + b_iz + c_j), где коэффициенты Ь_с, с, зависят только от.

2⁴.

координат узлов треугольного элемента. Подставим приближенную функцию ср в уравнение Пуассона (23.18). Тогда для каждого элемента где R — ошибка расчета, называемая невязкой решения. Необходимо подобрать такие узловые значения функции напряжений Ф, которые соответствуют минимальной невязке R.

Можно выдвинуть условие, чтобы суммарная невязка по площади поперечного сечения стержня была равна нулю J RdA = 0, но это бу;

л

дет слишком неточное решение. Точность решения резко возрастает при использовании взвешенных невязок (умноженных на весовую функцию W):

От выбора весовой функции зависит не только точность расчета, но и сам способ решения задачи. В зависимости от выбора весовой функции можно получить методы конечных элементов, метод граничных элементов, метод наименьших квадратов. В методе Бубнова— Галсркина в качестве весовой функции надо использовать функции формы элемента W= [ДО]⁷. Транспонирование функций формы необходимо для соблюдения правила перемножения матриц в последующих расчетах.