Абстрактные машины и категориальная комбинаторная логика

В данном параграфе изучены вопросы, относящиеся к понятийному аппарату, истории развития, существующим подходам в реализации и выразительным возможностям абстрактных машин. В ходе изложения рассмотрены важнейшие научные исследования, относящиеся к эволюции подходов к математическому моделированию вычислительных машин в формальных теориях, поддерживающих языки программирования. При этом предпринята попытка классификации существующих видов абстрактных машин.

Представлено неформальное введение в наиболее адекватный целям этой книги и достаточно широко распространенный на сегодня подход к моделированию абстрактных машин, а именно формальную систему категориальной комбинаторной логики. При этом существенное внимание уделено анализу границ практической применимости формальной системы категориальной комбинаторной логики для моделирования различных классов абстрактных машин. Формальное введение в категориальную комбинаторную логику предваряет изучение категориальной абстрактной машины, являющейся одной из фундаментальных формализаций, поддерживающих языки функционального программирования, особенно F#.

Кратко остановимся на наиболее значительных (с точки зрения этой книги) этапах эволюции теории и практики абстрактных и виртуальных машин в формальных теориях и языках программирования.

Еще задолго до появления высокоуровневых языков программирования, в 1930;х гг., А. Тьюрингом (Alan Mathison Turing) и Э. Постом (Emil Leon Post) независимо друг от друга созданы эквивалентные по возможностям, но практически весьма сложные в реализации формализации, известные как абстрактные машины и получившие названия по именам своих авторов.

Абстрактные машины можно понимать как математические формализации, моделирующие компьютер, который имеет потенциальную возможность реализации произвольной последовательности элементарных операций, или алгоритма. Таким образом, создатели первых абстрактных машин, по сути, непосредственно предвосхитили появление языков программирования, создав пусть примитивные, но в полной мере алгоритмические императивные языки.

Значительно позднее, в 1960;х гг., уже в эпоху высокоуровневых языков программирования, П. Лендином была разработана так называемая SECDмашина — математическая формализация для вычисления лямбда-выражений. Кроме того, этим же автором создан формальный язык ISWIM, представляющий собой вариант расширенного лямбда-исчисления и ставший впоследствии прообразом языка программирования ML, который, в свою очередь, эволюционировал в исследуемый нами язык программирования F#.

С появлением первой абстрактной машины, значительно более близкой по природе к высокоуровневым языкам программирования, чем ранние, наивные формализации Тьюринга и Поста, исследователи стали предпринимать попытки использования виртуальных машин для моделирования реальных языков программирования. Так, в 1970;х гг. Г. Плоткиным (Gordon David Plotkin) были проведены расширенные исследования SECD-машины, созданной II. Лендиным, и результаты удалось использовать для моделирования ранних версий реального языка функционального программирования ML. Затем, в 1980;х гг., группой французских ученых в составе П.-Л. Кюрьена (Pierre-Louis Curien), Г. Кузино (Guy Cousineau), М. Мони (Michel Mauny) и ряда других исследователей удалось усовершенствовать формализацию SECD-машины и создать на ее основе так называемую категориальную абстрактную машину (КАМ), изучение которой и будет составлять предмет нашего дальнейшего рассмотрения.

Наконец, в середине 1980;х гг. тем же авторским коллективом на основе категориальной абстрактной машины была создана полномасштабная реализация специально разработанного для этих целей диалекта языка функционального программирования ML, получившего (по имени абстрактной машины) название CaML.

Перейдем к более формальному обсуждению понятия абстрактной машины.

Абстрактной машиной (abstract machine) в рамках этой книги будем называть математическую формализацию, которая моделирует правила выполнения программы (или, иначе, алгоритмы) для той или иной реальной вычислительной машины (компьютера). В настоящее время при практической реализации различных классов языков программирования, в частности функциональных и объектно-ориентированных языков, широко используются аналоги абстрактных машин в форме так называемых виртуальных машин (virtual machine).

Виртуальные машины представляют собой средство создания промежуточного (следующего за текстом программы на высокоуровневом языке программирования) кода (именуемого в различных реализациях р-кодом, Java-кодом, MSIL-кодом и т. д.), который затем транслируется в машинный код. Заметим, что последний пример промежуточного кода, а именно MSIL (Microsoft Intermediate Language), представляет собой не что иное, как код промежуточный виртуальной машины, реализованной корпорацией Microsoft для технологической платформы .NET.

Отметим также то обстоятельство, что абстрактные машины позволяют адекватно моделировать различные подходы и стратегии вычислений, включая ранее рассмотренные рекурсивные вычисления, а также вычисления по необходимости (иначе известные как «ленивые»), которые будут рассмотрены ниже.

Уточнив понятия об абстрактных и виртуальных машинах, перейдем к исследованию особенностей различных классов рассматриваемых формализаций, проиллюстрировав выделенные классы необходимыми примерами из математической теории и практики программирования.

Прежде всего, следует отметить то обстоятельство, что практически все без исключения абстрактные модели вычислительных машин оперируют понятием состояния, изменения которого и отражают ход выполнения программы. При этом следует, во-первых, выделить ранние, «наивные» формализации на состояниях, которые нс были практически поддержаны ни языками программирования, ни собственно компьютерами. К ранним абстрактным машинам можно отнести известные из истории математики и уже упомянутые ранее машины Тьюринга и Поста. Первая абстрактная машина характеризовалась бесконечной лентой для хранения «инструкций», а также считывающей и записывающей головкой, передвигающейся по ленте; вторая машина действовала аналогично.

Несмотря на объективные трудности практической реализации, представляющей в большей степени теоретический интерес, ранние абстрактные машины, безусловно, были весьма значимыми для развития computer science, так как предвосхитили появление и обозначили ряд этапов развития реальных компьютеров и языков программирования для них. Кроме того, следует отдельно рассмотреть более поздние, зрелые формализации машин, основанные на состояниях. К ним в первую очередь относятся упомянутая ранее SECD-машина П. Лендина, а также категориальная абстрактная машина.

Как уже отмечалось, в 1960;х гг., в эпоху высокоуровневых языков программирования, П. Лендином была разработана так называемая SECDмашина, а именно математическая формализация для вычисления лямбдавыражений. При этом SECD-машина была предназначена для редукции лямбда-выражений и использовала механизм передачи параметров при вызове функции по значению (call-by-value), в отличие от других типов передачи параметра (например, по имени, или call-by-name). Свое название SECD-машина получила от аббревиатур имен своих основных четырех элементов, а именно:

• • Stack — стек, т. е. последовательность атомарных лямбда-выражений (переменных и констант), а также лямбда-абстракций;
• • Environment — среда, т. е. хранилище значений, которые связываются с переменными в ходе вычислений;
• • Control — управление, т. е. последовательность «инструкций», управляющих работой SECD-машины;
• • Dump — дамп, т. е. хранилище состояния SECD-машины (обычно пуст либо содержит прежнее состояние).

Перечисленная четверка элементов в полной мере характеризует состояние SECD-машины в произвольный момент вычислений.

Заметим, что именно SECD-машина явилась прообразом для более поздних формализаций, на которых реализованы ML-машины, в частности, категориальная абстрактная машина.

Перейдем к обсуждению теоретического фундамента, на котором основана категориальная абстрактная машина, а именно к формальной системе категориальной комбинаторной логики. Как уже отмечалось, своим названием категориальная абстрактная машина обязана тому обстоятельству, что множество ее возможных состояний принадлежит пространству так называемых декартово замкнутых категорий (д.з.к.). Формальная система с декартово замкнутыми категориями должна удовлетворять следующим условиям:

• 1) определены функция тождества, или тождественное преобразование (имеющее в комбинаторной логике аналог в форме комбинатора тождества I);
• 2) операция композиции или построения сложной функции (имеющая в комбинаторной логике аналог в форме комбинатора тождества В);
• 3) операция образования упорядоченной пары объектов ;
• 4) операция взятия первого элемента из упорядоченной пары объектов;
• 5) операция взятия второго элемента из упорядоченной пары объектов;
• 6) операция преобразования терма из алгебраической формы в анпликативную;
• 7) операция аппликации или применения функции к аргументу.

Проанализируем смысл сформулированных условий для категорий. Условия существования тождественного преобразования и построения сложных функций являются основополагающими и необходимы для формирования категорий произвольного типа. Условия существования операции образования упорядоченной пары объектов, а также операций взятия первого и второго элемента из упорядоченной пары необходимы для построения декартовых категорий, т. е. категорий, оснащенных операцией прямого (или, иначе, декартова) произведения и соответствующих ему проекций. Наконец, условия существования операций аппликации и преобразования терма из алгебраической формы в аппликагивную являются необходимыми для формирования категорий произвольного декартово замкнутых категорий.

Заметим, что последняя операция называется каррированием, а обратная ей — декаррированием — по имени основоположника комбинаторной логики X. Карри.

Кроме перечисленных выше условий, для построения декартовых категорий необходимо дополнительно потребовать существования функционального пространства или операции экспоненцирования.

Для реализации категориального расширения комбинаторной логики (известного также под названием категориальной комбинаторной логики (ККЛ)), добавим к известным нам комбинаторам.

• (I) I а=а;
• (К) К, а Ь=а;
• (S) Sab с=а с (Ь с);
• (B) В, а Ь с=а (Ь с);
• © Cal) с=а с Ь

следующие комбинаторы, выступающие в роли «машинных инструкций» категориальной абстрактной машины:

• (D) D=7. х у. |х, у]=А. х у г. г х у;
• (5) S=C I S;
• (А) А=Х х. (X z. х [у, z]);

О ‘=К=Х х. (А. у. х).

Заметим, что характеристическое соотношение (D) представляет собой операцию образования упорядоченной пары, соотношение (А) — каррирование, а соотношение (‘), ранее известное нам как характеристика комбинатора-канцелятора К, — операцию взятия первой проекции для упорядоченной пары элементов, которую можно также понимать как цитирование.

Продолжим построение формальной системы категориальной комбинаторной логики. Рассмотрим семантический аспект данной системы, основываясь на функции вычисления значения выражения категориальной комбинаторной логики, соотнесенной, вообще говоря, с той или иной средой. Введем одноместную функцию вычисления значения выражения для произвольного выражения, которую обозначим как ||-||. Допустим, значение терма М в таком случае будет иметь вид ||М||.

Далее добавим бесконечное множество комбинаторов п! со следующей семантической характеристикой:

||п||=п!

Продолжим семантические равенства следующим соотношением, характеризующим значения констант:

Цс||—С.

Как следует из приведенного соотношения, для вычисления значения константы используется комбинатор цитирования (что хорошо согласуется с практикой, принятой в языках функционального программирования, в частности в языке LISP).

Значения упорядоченной пары и лямбда-абстракции, как оказывается, задаются с помощью ранее рассмотренных комбинаторов S и Л:

||M, N||=S [||M||,||N||];

|| Х, х. М||=Л (М).

Заметим, что благодаря введению в рассмотрение дополнительных комбинаторов.

• (D) D=X х у. [х, у]=Х х у г. г х у;
• (5) 5*=С I S;
• (Л) Л=А, х. (A, z. х [у, z]);

О =К=Х х. (А, у. х) вышеперечисленные синтактико-семантические соотношения сводимы к чисто синтаксическим равенствам, которые имеют следующий вид:

О ! [х, у]=у;

(п±1) ! [х, у]=п! х;

S [х, у] z=x z (у z);

Л (^х) у z=x [у, г].

Отметим, что последние два соотношения, означающие соответственно декаррирование и каррирование, необходимы для завершения перехода от формальной системы комбинаторной логики (КЛ) к формальной системе категориальной комбинаторной логики (ККЛ).

Для того, чтобы формализация приняла более строгий и удобный вид, необходимо ввести в рассмотрение двухместный комбинатор образования пары, который определяется лямбда-выражением следующего вида:

<, t. [ t, t].

При этом комбинаторная характеристика вновь введенного комбинатора образования пары имеет следующий вид:

=A, t. to. (f t)(g t)=to. f t, g t].

Кроме того, комбинатор образования пары характеризуется следующим семантическим равенством:

IIМ, N||=.

После задания операции образования упорядоченной пары функций, для завершения формализации операции прямого или декартова произведения необходимо определить операции взятия первого и второго элементов упорядоченной пары, или первой и второй проекций.

Согласно общепринятой алгебраической практике, оснастим вновь введенную операцию декартова произведения комбинаторами первой и второй проекций с комбинаторными характеристиками следующего вида:

Fst=C I К=(п±1)!

Snd=C I (К 1)=(0)!

Отметим, что вновь введенные комбинаторы Fst для первой проекции и Snd для второй проекции имеют следующие характеристические соотношения:

Fst [х, у]=х;

Snd [х, у]=у;

z=[x z, у z].

Последнее соотношение определяет связь между комбинатором образования упорядоченной пары и так называемой парой функций, т. е. такой функцией, которая в результате дает совокупность результатов своих функций-компонентов х: А—>Виу:А—" С в виде функции w: А —" В х С. Заметим, что введенная система комбинаторов Fst, Snd, (n±l)!, О!, S, Л является избыточной. Избыточность системы комбинаторов устраняется введением комбинатора композиции о = В, который принимается тождественно равным ранее определенному комбинатору композиции В.

Далее введем явно комбинатор аппликации е. Выведем соотношения, которые позволят устранить избыточность системы комбинаторов:

5 (х у t)=x t (у t)=? [х t, у t]=(e о) t.

Отсюда.

(i) 5=А, х у. (е о).

Положим Fstⁿ⁺¹=Fst о Fstⁿ для п>1 и Fst¹⁼Fst. Тогда получим, что.

(ii) n≠Snd о Fstⁿ для n>0, a 0≠Snd.

Завершим построение формальной системы категориальной комбинаторной логики. С учетом устранения избыточных комбинаторов из рассматриваемой формальной системы получим окончательный перечень характеристических соотношений категориальной комбинаторной логики:

• (ass) (х о у) Z—X (у z);
• (fst) Fst [х, у]=х;
• (snd) Snd [х, у]=у;
• (dpair) z=[x z, у z];
• (ас) s [Л (х) у, z]=x [у, z];
• (quote) (‘х)у=х.

Заметим, что соотношение (ass) устанавливает связь аппликации и композиции, соотношение (dpair) — спаривания и формирования совокупности, а соотношение (ас) — каррирования и апплицирования.

Напомним, что соотношения (fst) и (snd) характеризуют операции взятия первой и второй проекций для упорядоченной пары объектов, a (quote) — цитирование.

Приведенные соотношения (ass), (fst), (snd), (dpair), (ас) и (quote) адекватно (полно и непротиворечиво) формализуют систему категориальной комбинаторной логики.

Контрольные вопросы

Вопрос 1.

Вариант 1 в чем состоит основное назначение абстрактных машин?

• а) в формализации вычислительной машины (+);
• б) в формализации синтаксиса языка программирования;
• в) в формализации семантики языка программирования.

Вариант 2: каково основное требование к абстрактной машине?

• а) адекватная формализация компьютера (+);
• б) высокая вычислительная эффективность;
• в) лаконичность конструкций языка.

Вариант 3 что из перечисленного является формализацией для абстрактной машины?

• а) теория вычислений Д. Скотта;
• б) комбинаторная логика X. Карри (+);
• в) форма Бэкуса — Наура.

Вопрос 2.

Вариант 1: какие языки программирования формализованы абстрактными машинами?

• а) ML и CaML (+);
• б) ML и С#;
• в) ML и Pro Log.

Вариант 2: какая формализация абстрактных машин отвечает требованию реализма?

• а) машина Тьюринга;
• б) машина Поста;
• в) машина Лсндина (+).

Вариант 3: какая формализация абстрактных машин является зрелой?

• а) SECD-машина Лендина (+);
• б) категориальная абстрактная машина (+);
• в) машина Тьюринга.

Вопрос 3.

Вариант 1: какой вариант вызова параметра моделирует машина Лендина?

• а) вызов по имени;
• б) вызов, но необходимости;
• в) вызов по значению (+).

Вариант 2: что означает аббревиатура SECD?

• а) состояние машины — стек, дамп, среда, код (+);
• б) состояние машины — стек, терм, код, дамп;
• в) состояние машины — стек, дамп, терм, среда.

Вариант 3: каковы основные условия для декартово замкнутых категорий?

• а) тождество, композиция, упорядоченная пара, первая проекция;
• б) тождество, композиция, упорядоченная пара, перестановка;
• в) тождество, композиция, упорядоченная пара, проекции (+).