Математическая модель принятия решений

Математическая модель принятия решений представляет собой формализацию задачи принятия решений.

Поиск решения начинается с перечисления возможных (допустимых) вариантов решений и их исходов, затем производятся оценка и анализ каждого исхода. Для построения модели необходимо задать следующие три множества:

• 1) X — множество допустимых альтернатив (действий, управленческих решений, стратегий, вариантов, планов, из которых ЛПР может выбрать только один элемент);
• 2) S — множество возможных состояний среды, из которых может реализоваться только одно состояние;
• 3) R — множество возможных результатов или исходов, полученных в результате реализации принятого управленческого решения (событий, имеющих, если не задано ничего дополнительного, совершенно произвольную структуру).

Всегда предполагается, что множество X содержит не менее двух альтернатив — иначе надобность в принятии решения отпадает.

ЛПР выбирает одну из возможных альтернатив, при этом каждый исход (результат) зависит как от выбранной альтернативы, так и от состояния среды. Таким образом, каждый исход г е R можно представить как результат действия некоторого отображения F из прямого произведения двух множеств (т.е. из упорядоченных пар элементов двух множеств) S X X в множество возможных результатов (исходов) R, т. е.

Определение Отображение F/S-X —> R называется функцией реализации или функцией выбора управленческого решения или действия.

Набор объектов (5, X, R, Е) составляет реализационную структуру задачи принятия решения.

Заметим, что функций выбора может быть несколько, но мы пока ограничиваемся рассмотрением одной.

Пример 3.3.1.

Выбор альтернативы Студент Петр имеет мобильный телефон. Ему необходимо внести абонентскую оплату. Множество альтернатив можно строить разными способами. В самом простом случае, соответствующем логическим {TRUE, FALSE}, Петр может принимать решение вносить или не вносить деньги за телефон. В этом случае множество альтернатив будет состоять из двух элементов: X = {0, 1} (иметь «бинарную», «булеву» структуру). В несколько более общем случае, когда Петр выбирает из трех следующих альтернатив: не вносить оплату, внести не более 100 руб. или внести более 100 руб., множество альтернатив X очевидно превратится в множество, состоящее из трех элементов. В случае, когда Петр рассматривает варианты внести любую сумму в пределах от 0 до 1000 руб., то множество X будет представлять собой интервал числовой оси. Отметим, что шаг дискретизации этого интервала, будет равен шагу дискретизации платежной системы: 1 коп., 10 кои., 1 руб., 10 руб., 50 руб., 100 руб. В подобных случаях современная литература по вычислительным финансам рекомендует использовать непрерывную денежную шкалу — в этом случае множество альтернатив представит собой непрерывный интервал [0, 1000]. Состоянием среды s е S будет сумма на счете телефона на некоторую конкретную дату принятия управленческого решения по управлению денежным счетом телефона. Приняв определенное решение и выбрав какую-либо альтернативу, Петр или начинает пользоваться телефоном, или не имеет такой возможности. Множество исходов (результатов) будет состоять из двух элементов R = {r_v г₂}, где г, = {телефон включен}, г₂ = {телефон не отключен}.^[1][2]

что изначально, на множестве альтернатив критерия не предполагается предварительного задания никакой структуры.

Определение.

Критерием, заданным на множестве, называемом множеством альтернатив критерия, мы называем пару: признак и правило, позволяющую разбить заданное множество (по данному признаку с помощью заданного правила) на два неиересекающпхся и взаимно дополняемых подмножества, которым присваиваются два различных логических значения: {TRUE, FALSE} или соответствующие им индикаторные значения {1,0}.

Критерий должен сопровождаться критериальной функцией или оценочной функцией, на основании которой реализуется правило, производящее разбиение. Критериальная функция должна действовать из критериального множества в некоторое линейно упорядоченное множество. В случае, когда это линейно упорядоченное множество представляет собой подмножество числовой прямой, принято говорить об оценочной функции.

Замечание 3.3.1. В философии особо выделяют критерии истинности знания. Различают логические и эмпирические критерии истинности. Так, говорят: «Практика — критерий истинности», подразумевая эмпирические критерии. Вместе с эмпирическими критериями рассматриваются и теоретические критерии. Критерий истинности математической теоремы строгость ее доказательства.

В контексте нашего введенного формализма, т. е. реализационной структуры (5, X, R, F), и порядка важности решаемых задач множеством альтернатив критерия в первую очередь будет являться элемент структуры (X) — множество альтернатив управленческих решений, а во вторую очередь (S) — множество состояний среды, а если точнее, то множество вероятностных распределений на множестве состояний среды.

К эмпирическим критериям относятся статические критерии проверки гипотез. Как раз в этом случае множеством альтернатив критерия является множество вероятностных распределений, заданных на множестве состояний среды.

Действие критерия проявляется уже на стадии формирования реализационной структуры. Так, говоря о «допустимых» стратегиях (альтернативах), мы, по некоторому «стоящему за кадром» критерию, отсеиваем все «недопустимые» стратегии. Для того, чтобы оценить «правильность» выбранного действия или принятого решения, ЛПР необходимо иметь критерий сравнения управленческих решений. Так как само по себе, в отрыве от результата, управленческое решение ничего не значит, и решения сравниваются по результатам (исходам), к которым они приводят, то возникает необходимость иметь критерий (критерии) сравнения результатов. В этом случае множеством альтернатив критерия становится R — множество результатов (исходов). Для такого критерия признаком будет предпочтительность (или приемлемость) того или иного результата, а правилом — следующее введенное отношение строгого предпочтения на множестве R.

Строгое предпочтение г_{ > г₂ означает, что исход г_х предпочтительнее, чем исход г._)у и нестрогое предпочтение г, > г._у означает, что исход г, не менее предпочтителен, чем исход г₂.

В случае, если ЛИР может оценить эффективность (равнозначные по смыслу термины: «полезность», «ценность») каждого исхода г е R некоторым числом ф (г) из множества вещественных чисел 9?, то задается оценочная структура задачи принятия решений в виде пары (R, ср), где функция

Определение Функция ср называется оценочной или критериальной функцией предпочтения, заданной на множестве R всех возможных результатов (исходов), которые можно получить при реализации управленческих решений из заданного множества X — допустимых решений.

После того, как мы ввели понятие критериальной функции, на ее основе зададим операцию сравнения двух результатов г, r₂ е R по следующему признаку предпочтения:

Говорят, что (оценочная) функция ф порождает (частичное) отношение порядка на множестве реализаций R. Так как критериальная функция позволяет вычислять численные значения отношения предпочтения, то очевидным образом, на основе отношения строгого порядка числовой оси, возникает правило, дающее предпочтения по данному критерию и, как следствие, позволяющее разбивать (на два подмножества, как требуется при разбиении в определении критерия, но и не только так) множество результатов R в соответствии с признаком предпочтения.

Замечание 3.3.2. «Эффективность и потери». Заметим, что с помощью функции ф можно оценивать не только эффективность, но и потери, к которым приведет каждый исход. В этом случае критерий сравнения двух результатов г_р r₂ € R будет иметь следующий вид:

Также отметим, что множество значений оценочной функции может влиять на формирование самой реализационной структуры ЗПР. Может так оказаться, что множество допустимых действий (альтернатив) X не дает ни единого приемлемого значения оценочной функции. Так, например, вы заходите в кафе пообедать и убеждаетесь в том, что за имеющуюся у вас сумму не можете получить приемлемого полноценного обеда.

Один из самых простых, но при этом основных способов задания оценочной структуры задачи принятия решений заключается просто в разбиении множества исходов R на два непересекающихся подмножества: R = R* и 7?°, R* П R° = 0, где R° — класс «плохих» (неприемлемых, недопустимых) исходов, a R* — класс «хороших» (приемлемых, допустимых) исходов.

Оценочная функция ф здесь изначально не задается, порождается собственно разбиением и представляет собой индикаторную функцию, заданную на множествах разбиения: 0, если «плохо» и 1, если «хорошо». Также здесь оценочной функции можно приписать и логические значения {TRUE, FALSE}. В этом случае признаком критерия для сравнения двух исходов будет следующее соотношение:

Правило же критерия, дающее здесь разбиение критериального множества альтернатив, реализуется заранее, «за кадром», на основе, возможно, индивидуального представления ЛИР о «хорошем» и «плохом» исходе.

В данной модели оценочной структуры исходы, принадлежащие одному из множеств, между собой предполагаются несравнимыми (равноценными для ЛПР, эквивалентными с точки зрения Л11Р).

Следующий способ построения оценочной структуры с логической оценочной функцией использует некоторую «начальную» оценочную функцию (р, реализуемую уже «в кадре». Разбиение множества исходов R на два класса здесь осуществляется следующим способом, который представляет собой пример применения критерия, где множеством альтернатив критерия будет множество результатов, а критериальной функцией будет функция ф. Следует задать некоторое пороговое (критическое) значение с* е 'Л для функции ф. Тогда получим следующее разбиение множества R = R° U R* на два непересекающихся подмножества:

Здесь значением признака сравнения г будет значение, которое приняла ф (г), а правилом, порождающим разбиение R = R° U R*, будет правило сравнения с критическим значением с* е Л.

Более общим случаем будет выбор некоторого (открытого) подмножества вещественных чисел Х₀ а Л, которое принято называть критическим, задающего разбиение множества исходов следующим образом:

Заметим, что критерии такого типа применяются, например, в задачах проверки статистических гипотез при построении критериев согласия.

Пример 3.3.2.

Разбиение критериального множества альтернатив на подмножества «хороших» и «плохих» исходов Компания опубликовала объявление о приеме на работу бизнес-информатиков в возрасте от 20 до 50 лет. Тогда критическим множеством «хороших» исходов для претендентов будет интервал [20, 501.

Логические значения множеств {R°, R*} могут меняться местами в зависимости от предпочтений, что можно наблюдать на примере «эффективности и потери» (см. замечание 3.3.2).

Определение.

Целевой функцией / заданной задачи принятия решений будем называть последовательное применение функции реализации и оценочной функции (композицию, суперпозицию соответствующих функций).

Вещественное число f (s, х) отражает полезность (ценность, эффективность) того исхода, который получается в ситуации, когда ЛПР выбирает управленческую альтернативу х е X, а среда принимает некоторое состояние s е S. Заметим, что в экономике (да и политике) нередко можно столкнутьс я с ситуацией, когда выбор полезности влияет на состояние среды. «Полезность» пушнины, например, приводит к перманентному уменьшению соответствующих животных в лесах, и в лучшем случае, — к появлению ферм по их искусственному выращиванию. Полезность рождает спрос, спрос рождает предложение, следовательно, предложение меняет состояние среды.

В случае когда ЛПР стремится к увеличению значения функции/, выбирая управленческую альтернативу, то говорят, что/показывает ценность, эффективность или выигрыш. В противном случае, при стремлении ЛПР к уменьшению значений /, эта функция выражает потери, проигрыш, ущерб, риски.

Заметим, что оценочная структура ЗПР носит субъективный характер: оценивание исходов производится с точки зрения принимающего решение. Наиболее распространенным является задание оценочной структуры в виде оценочной функции ф или целевой функции/.

В зависимости от информации, которую имеет при принятии решения ЛПР относительно состояния среды, различают несколько основных типов задач принятия решения. Приведем их классификацию.

• [1] Теория принятия решений неотделима от понятия критерия. Дадим следующее определение критерия, заданного в зависимости от контекста, на исходных множествах (S, X, R, F):
• [2] на множестве X — альтернатив, действий в задаче принятия решений; 2) на множестве S — состояний среды, в первую очередь, на множествегипотез о состоянии среды; 3) на множестве R — результатов; 4) на множестве F— функций реализации управляющего решения. Если рассматривается многокритериальная ЗПР, то и множество функции Fee реализации содержит не один элемент. В общем случае критерийвсегда подразумевает тот или иной анализ некоторого заданного множества. Элементы анализируемого множества в контексте критериального подхода принято называть альтернативами, и это может создать определеннуюпутаницу с понятием «альтернатива» как элементом множества X в задачепринятия решений. Чтобы избежать этой путаницы, мы (по мере возможностей), в зависимости от контекста, будем употреблять словосочетания соответственно: «альтернативы критерия» и «альтернативы управленческих решений», «альтернативы действий», «альтернативы стратегий». Отметим,