Анализ согласованности матриц парных сравнений на основе их собственных чисел

В практических задачах количественная (кардинальная) и транзитивная (порядковая) однородность (согласованность) матрицы парных сравнений А нарушается, поскольку человеческие ощущения и суждения эксперта нельзя выразить точной формулой. Иначе говоря, эксперт при заполнении матрицы А полагается исключительно на свои оценки, которые без дополнительных корректировок всегда оказываются в той или иной степени несогласованными.

Можно показать, что при выполнении условия однородности a_ik = a_Ls • a_sk максимальное собственное число Х_тах матрицы А всегда в точности равно порядку п матрицы, а все остальные собственные числа равны нулю (т.е. ноль — корень характеристического уравнения кратности п- 1). При небольших отклонениях суждений эксперта от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение А,_тах — п собственного значения А,_тах от порядка матрицы п.

На базе этих рассуждений выводится, что логическая согласованность суждений эксперта оценивается индексом однородности (/₀) или отношением однородности которые определяются следующими выражениями:

где М[1₀] — среднее значение (математическое ожидание) индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений А. ВеТаблица 7.5.1

Среднее значение М[/_с] индекса /₀ в зависимости от порядка п матрицы.

личина М[1₀] найдена на основе экспериментальных данных (табл. 7.5.1), полученных методом численного эксперимента в работе Т. Саати^[1].

Если для матрицы парных сравнений отношение однородности превышает пороговое значение? > 0,10, то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы. В этом случае эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить ее однородность. Значение ниже порогового ^ < 0,10 считается допустимым, т. е. отклонения элементов матрицы парных сравнений А от согласованных величин не столь велики, чтобы заметно нарушить однородность.

Величину отношения однородности ?, можно считать показателем качества совокупности экспертных оценок. По результатам опроса экспертные оценки, как правило, подлежат проверке. Для этого обычно применяются различные числовые индексы, разработанные как для групповых, так и для индивидуальных опросов, и единого правила выбора такого индекса пока нет. При этом вопрос об оптимальном критерии качества работы экспертов остается открытым.

Обратите внимание!

Наличие в МАИ такой характеристики, как отношение согласованности, очень удобно для проверки качества экспертных оценок, особенно при создании программного комплекса.

Несмотря на существенные преимущества, отношение согласованности иногда обладает и недостатками. Например, ограничение ?, < 0,10 зачастую вступает в противоречие с логикой исследователя. Ярким проявлением этого служит связанное с таким ограничением требование наличия транзитивности в предпочтениях эксперта^[2].

Напомним, что отношение предпочтения транзитивно, если из х_{ > х₂ и х₂ > х₃ вытекает х_х > х₃. Нетрудно убедиться, что при отсутствии транзитивности в матрице парных сравнений почти всегда имеет место ^ > 0,10. Иллюстрацией данного факта служит пример 7.4.1. Отношение предпочтения, заданное матрицей А в примере 7.4.1, не транзитивно — в частности, имеет место х_{ > х₂ (с коэффициентом 5), х₂ > х₃, но при этом х₃ > х_{ (с показателем 4). Результат отсутствия транзитивности таков: индекс однородности равен 1₀ = 6,51, а отношение однородности % = 7,23, г. е. пороговое значение ^ = 0,10 превышено в 72 раза. В то же время транзитивность на практике не всегда присутствует в экспертных оценках, особенно когда характеристики исследуемой системы — качественные, и их невозможно представить числовыми величинами. Нередко выбор экспертом предпочтений х_у > х₂, х₂ > х₃, но при этом х₃ > Ху, при наличии нескольких критериев бывает обоснован вескими аргументами, которые нелегко опровергнуть.

Однако, как показывает следующий пример, даже выполнение условия транзитивности не гарантирует справедливости ограничения § < 0,10.

Пример 7.5.1.

Нарушение логичности суждений эксперта, удовлетворяющих условию транзитивности Пусть матрица парных сравнений размера и х и определена выражением.

Каждая альтернатива здесь предпочтительнее всех последующих с показателем от 2 до и, т.с. при i < k транзитивность соблюдается: .у > х_к. Болес того, оценки парных сравнений в матрице выглядят вполне логичными и соответствуют ощущениям многих экспертов, выстраивающих эти оценки в виде арифметической прогрессии. Но с возрастанием размера матрицы и се наибольшее собственное число довольно быстро растет, поэтому растут и показатели 1_п и Скажем, при и = 10 они равны 1_а = 0,438 и Е, = 0,311, что превышает пороговое значение ^ = 0,10 более, чем в 3 раза.

Таким образом, продемонстрированный в данном примере результат заставляет задуматься о способности отношения однородности служить критерием качества экспертных оценок.

• [1] Саати Т. Указ. соч.
• [2] Преимущества и недостатки метода анализа иерархий [Электронный ресурс] URL: http://cyberleninka.rU/article/n/preimuschestva-i-nedostatki-metoda-analiza-ierarhiy