Метод идеальной точки

Структурировать множество альтернатив в ситуации «разноголосицы» суждений экспертов можно различными методами группового выбора. Среди основных принципов группового выбора один из наиболее распространенных — метод идеальной точки.

Для удобства постановки и решения задачи будем (как и в гл. 4), не теряя общности, считать, что цель ЛПР — достичь максимума по всем частным критериям, т. е. по всем компонентам векторной оценки решения fix) = |/,(х), /₂(х), f_m(x)], компонентами которой служат все индивидуальные предпочтения отдельных экспертов. С практической точки зрения это означает, что все экспертные оценки формируются таким образом, что наиболее предпочтительные альтернативы имеют самые высокие значения всех оценок f_k(x).

В отличие от голосования мнения экспертов f_k (х) не будем ограничивать лишь целочисленными значениями — считаем, что они могут выражаться произвольными функциями от альтернатив х е X.

Определение.

Идеальной точкой (именуемой также точкой утопии) критериального пространства называется точка г/, каждая координата которой равна верхней грани множества значений соответствующей компоненты вектора fix): u_k = sup ffx),

xeX

где X — множество всех возможных вариантов решений (альтернатив).

Идеальная точка существует, если все предпочтения отдельных экспертов f_k (х) — ограниченные сверху функции на множестве X. На практике функции f_kix) обычно достаточно гладки (в смысле существования конечных односторонних пределов в каждой точке), и верхняя грань каждой из функций f_kix) совпадает с ее наибольшим значением, т. е. достигается в некоторой точке x_k множества X. Если все такие варианты x_k для всех номеров k совпадут между собой, то идеальная точка и окажется принадлежащей множеству Y возможных векторных экспертных оценок. Однако в данной ситуации идеальная точка определяет тривиальное решение проблемы для ЛПР (выбор наилучшего варианта очевиден), поэтому задача не представляет интереса для теории принятия решений. Таким образом, будем считать, что идеальная точка недостижима: и Практический смысл этого предположения состоит в том, что нет варианта, позволяющего одновременно удовлетворить мнениям всех экспертов.

Будучи не в состоянии попасть в идеальную точку й, ЛПР должно к ней стремиться. Минимизация расстояния до точки и и определяет простейшую постановку задачи оптимального группового выбора.

Оптимальным по методу идеальной точки называется такой вариант х^[1][2] е Х_у для которого достигается минимум расстояния в пространстве R^m экспертных оценок между оценкой /(х^[2]) данного варианта и идеальной точкой.

Математически это выражается соотношением.

Известно, что расстояние (именуемое также метрикой) в линейном векторном пространстве вводится как произвольная функция р (у_{, у₂), удовлетворяющая трем аксиомам:

• • тождество: p (y_vy₂) ⁼ 0 У ⁼ Vv
• • симметрия: р(y_vy₂) = р (у₂>У)
• • неравенство треугольника: p (y_vy₃) < Р(У>У₂) ⁺ р (У^Уз) — Функций, удовлетворяющих этим условиям, существует очень много,

особенно если учесть, что любое предварительное линейное преобразование частных критериев (например, сдвиг на константу или умножение на постоянный коэффициент) меняет формулы для расстояния, не нарушая справедливость всех трех аксиом.

Обратите внимание!

Неоднозначность введения расстояния оставляет широкую свободу действий в рассматриваемом подходе. По этой причине метод идеальной точки считается эвристическим.

Результат, получаемый по методу идеальной точки, сильно зависит от выбора метрики и от индивидуальных весовых коэффициентов экспертов. Не существует единого универсального способа выбора оптимальной альтернативы, не зависящего от этих факторов.

Другой недостаток подхода связан с тем, что при нахождении минимума расстояния учитываются значения оценок f_k{x) лишь в окрестности точки минимума х*.

Обратите внимание!

Метод идеальной точки не учитывает мнений большинства экспертов, за исключением мнений об альтернативах в окрестности точки минимума. Тем самым значительная часть полученной от экспертов информации игнорируется.

Практическая численная реализация алгоритма минимизации расстояния зависит, прежде всего, от выбора метрики.

При минимизации евклидовой метрики задача поиска минимума решается хорошо изученным методом наименьших квадратов.

Для метрики в!¹, которая, по сути, линейна, при условии линейности критериев и ограничений, задающих множество Y возможных экспертных оценок, проблема сводится к задаче линейного программирования.

Аналогичная идея минимизации расстояния служит основой другого подхода, частично исправляющего основной недостаток метода идеальной точки. Этот подход базируется на понятии медианы Кемени, рассмотренном в параграфе 15.4.

• [1] На практике чаще всего применяют следующие выражения для расстояния: о Г™ • евклидово расстояние или метрика в L2: р (у, z) = J^Cy2 ~zkf V 2=i • чебышевская (равномерная) метрика: р (у, z) = max yk — zk; т
• [2] метрика в L1 или манхэттенское расстояние: p (z/, z) =^ykzk. k= Положение осложняется тем, что перечисленные определения предполагают равноправие всех компонент вектора. В то же время разные эксперты могут иметь различную квалификацию, т. е. их мнения могут иметь совершенно разный вес. Выровнять эти различия помогает изменениемасштаба оценок, т. е. умножение каждой из экспертных оценок yk=fk (x) нанекоторый положительный коэффициент ak. С точки зрения поставленнойзадачи минимизации это равносильно изменению метрики р (у, г) путем умножения каждой из разностей yk — zk на множитель а2. Весовые коэффициенты щ должны в каждом случае подбираться индивидуально, с учетомкомпетентности и квалификации экспертов. Тем самым подчеркивается эвристический характер метода. Этим же определяется и главный недостатокданного подхода.
• [3] метрика в L1 или манхэттенское расстояние: p (z/, z) =^ykzk. k= Положение осложняется тем, что перечисленные определения предполагают равноправие всех компонент вектора. В то же время разные эксперты могут иметь различную квалификацию, т. е. их мнения могут иметь совершенно разный вес. Выровнять эти различия помогает изменениемасштаба оценок, т. е. умножение каждой из экспертных оценок yk=fk (x) нанекоторый положительный коэффициент ak. С точки зрения поставленнойзадачи минимизации это равносильно изменению метрики р (у, г) путем умножения каждой из разностей yk — zk на множитель а2. Весовые коэффициенты щ должны в каждом случае подбираться индивидуально, с учетомкомпетентности и квалификации экспертов. Тем самым подчеркивается эвристический характер метода. Этим же определяется и главный недостатокданного подхода.