Агрегирование мнений для принятия группового решения методом анализа иерархий

Наиболее эффективным способом согласования экспертных оценок служит агрегирование мнений, выраженных с помощью матриц парных сравнений методом анализа иерархий (метод рассмотрен ранее, в гл. 7 настоящего учебника). В этом случае имеется два эффективных метода объединения (агрегирования) мнений нескольких экспертов в одно общее мнение.

1. Осреднение суждений экспертов может быть осуществлено на уровне собственных векторов матриц парных сравнений. Пусть w^{k), k = 1, …, т iviaiuit. if' собственные векторы матриц парных сравнений А^[к] (где матрица Л¹*¹ составлена k-м экспертом). Тогда агрегированную оценку компонент вектора весов находим по формуле (содержащей корень степени т из произведения одноименных компонент вектора):

где wf^k) — i-я компонента собственного вектора, полученного по оценкам к-го эксперта; wf — совокупная оценка г-й компоненты, полученная по оценкам всех экспертов; т — число матриц парных сравнений, каждая из которых составлена одним экспертом.

2. Для агрегирования мнений экспертов можно принять и среднее геометрическое элементов матриц, вычисляемое по следующей формуле:

где ар — оценка k-ro эксперта, т. е. элемент матрицы Л¹*¹, составленной к-м экспертом; — совокупная оценка элемента, принадлежащего г-й строке иу'-му столбцу матрицы парных сравнений.

Логичность критерия (17.6.2) становится очевидной, если два равноценных эксперта указывают при сравнении объектов соответственно оценки а и 1 /а, что при вычислении агрегированной оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности сравниваемых объектов.

При этом результаты, полученные путем обработки матрицы (17.6.2), будут эквивалентны тем, которые получены на уровне (17.6.1) собственных векторов матриц парных сравнений, если степень однородности составленных матриц достаточна и удовлетворяет условию ?, < 0,10. Если же отношение однородности > 0,10, результаты двух вариантов агрегирования мнений могут оказаться разными.

Покажем это на следующем примере.

Пример 17.6.1.

Результаты двух вариантов агрегирования мнений Пусть суждения двух экспертов представлены в виде матриц парных сравнений Л¹'¹ и Л^{, г|}:

• 1. Применим первый способ агрегирования. Для этих матриц собственные векторы го¹*¹ (/г = 1, 2), максимальные собственные значения Х_тах и оценки однородности (/,; ?,) имеют слсдующиГ[ вид:
  • • для матрицы Л¹'¹: собственное число Я._тах= 4,641; нормированный собственный вектор (транспонированный) да¹'¹ = (0,250; 0,241; 0,262; 0,247); /₍₎ = 0,214; Е, = = 0,369;
  • • для матрицы А^т: собственное число Х_тк= 4,746; нормированный собственный вектор w^m = (0,382; 0,118; 0,386; 0,114);‘/_о = 0,249; ^=0,429.

Осреднение на уровне элементов собственных векторов по формуле (17.6.1) дает (V0,250 0,382 = 0,309,^0,241 0,118 = 0,168,^0,262 0,386 = 0,318,.

Vo, 247−0,114 =0,168), откуда находим групповой вектор приоритетов, учитывающий мнения обоих экспертов:

2. Для второго способа агрегирования мнений, осредняя элементы матриц Л¹¹¹ и Л¹²¹, получим групповую матрицу парных сравнений Л¹³¹:

Нормированный собственный вектор матрицы Л^|!|, отвечающий групповому мнению, следующий:

Сравнивая два собственных вектора w и w' определенные двумя разными способами, можно убедиться в их существенном различии, которое вызвано тем, что однородность суждений экспертов, заполнивших матрицы парных сравнений, была неудовлетворительной (0,369 > 0,10; 0,429 > 0,10).

Обратите внимание!

Кроме неоднородности суждений экспертов при заполнении матриц парных сравнений, отличие может быть вызвано также несогласованностью мнений экспертов. Наиболее важное различие результатов, полученных двумя способами, состоит в том, что разные альтернативы оказываются имеющими наивысший приоритет.

В первом случае, при осреднении мнений экспертов на уровне векторов приоритетов, лучший показатель 0,318 имеет третья альтернатива. Во втором же случае, при осреднении мнений на уровне матриц парных сравнений, высший показатель 0,338 — у первой альтернативы. Поскольку как первый эксперт, так и второй по своим индивидуальным предпочтениям выбирают третью альтернативу с показателями приоритетов соответственно 0,262 и 0,386, приходим к выводу, что в данной ситуации первый способ осреднения (на уровне векторов приоритетов) точнее согласуется с индивидуальными предпочтениями экспертов. Впрочем, нетрудно привести также пример ситуации, когда ближе к индивидуальным мнениям экспертов оказывается второй способ осреднения (на уровне матриц парных сравнений).

Полученные значения векторов w^A используются в методе анализа иерархий при определении векторов приоритетов альтернатив по отношению к общей цели.

В достаточно ответственных задачах при оправданных затратах на экспертизу осреднение суждений экспертов проводится с учетом их квалификации («веса»). Расчет агрегированной оценки в случае привлечения т экспертов, имеющих различную значимость, осуществляется по формуле.

где a₍«* — оценка объекта, проведенная k-м экспертом с весовым коэффициентом а_/(; при этом а, + а., + … + а_га = 1.