Связь критериев устойчивости для систем с постоянными и периодическими коэффициентами

Как мы уже увидели, и для систем с постоянными коэффициентами, и для систем с периодическими коэффициентами устойчивость удается исследовать с помощью спектральных критериев. Правда, критерии эти довольно слабо похожи друг на друга (хотя есть и сходство наличие критической, пограничной зоны, в которой начинают играть роль наличие или отсутствие присоединенных векторов и четкое разграничение устойчивости и неустойчивости с помощью неравенств). Хотя на самом деле система с постоянными коэффициентами является частным случаем периодической (как известно, постоянная функция является периодической с любым периодом). Поэтому представляется естественным взглянуть на систему с постоянными коэффициентами как на периодическую и сравнить на этом примере два полученных нами критерия.

Итак, пусть

система с постоянными коэффициентами. Тогда.

(ш произвольное зафиксированное число), и мультипликаторы это собственные числа матрицы е^Аш. Основным инструментом, который поможет нам получить спектр этой матрицы, является теорема об отображении спектров^[1]

Теорема 28.2 (Теорема об отображении спектров) Спектр матрицы e^At совпадает, с набором e^^jt, где Xj собственные значения матрицы А. с учетом, кратностей. Собственные вектора матриц, А и e^At при. t ф 0 совпадают, и каждой цепочке ft⁰, ft¹,…, h^k собственных и присоединенных векторов матрицы. А соответствует цепочка g® = ft⁰, д},…, д^к собственных и присоединенных векторов матрицы e^At, так что подпространства, натянутые ни ft* и на д, совпадают.

Доказательство. Пусть Л жорданова форма матрицы А, так что А = Т ЛТ, где Т матрица, составленная из собственных и присоединенных векторов матрицы А. Тогда, поскольку

получаем.

и поэтому достаточно доказать теорему для матриц жордановой формы.

Далее, если матрица Л блочно-диагональная и состоит из блоков Aj

то.

и нам достаточно доказать утверждение теоремы для одной жордановой клетки. Если же.

жорданова клеточка размера ш х т. где J нильнотентная матрица с единичками над главной диагональю и нулевыми остальными элементами, то (поскольку единичная матрица коммутирует с любой) по свойствам матричной экспоненты.

Последняя же экспонента легко считается «по определению¹¹ дело в том. что J² имеет единички только на второй наддиагонали, J³ на третьей, a J^rn (тп размерность матрицы) вообще равно нулевой матрице. Поэтому ряд. фигурирующий в определении экспоненты, для матрицы J на самом деле обрывается уже на m-той степени, и его сумма равна.

откуда.

Мы видим, что экспонента от жордановой клетки верхняя треугольная матрица, на диаг онали которой стоят Значит, ее собственными значениями будут как раз e*^jt_: причем как раз именно той кратности, каков размер жордановой клетки. Далее, как нетрудно видеть, при t ф О ранг матрицы е^А — e^Aj равен (т— 1), и поэтому матрица е^А имеет в точности один собственный вектор (а именно первый орт), совпадающий с собственным вектором матрицы Лу, и цепочку присоединенных к нему векторов длины, равной в точности размерности жордановой клетки. Таким образом, цепочка собственных и присоединенных векторов матрицы е^А образует базис в том же пространстве, что и цепочка из собственного и присоединенного векторов матрицы Л,-. Итак, для жордановой клетки теорема доказана. Остается подняться «назад», заметив, что сохранение блочно-диагональной формы матрицы при взятии экспоненты означает, что у блочной матрицы и у ее экспоненты одинаковые жордановы подпространства, и, наконец, вернуться к исходной матрице А, заметив, что переход к жордановой форме не меняет ни структуру спектра, ни структуру жордановых подпространств, а связан только с переходом к другому базису (вообще говоря, в (С^п). Теорема доказана.

Из теоремы об отображении спектров немедленно следует, что мультипликаторами системы (28.10), отвечающими периоду и>. являются в точности числа е^^ш, где j собственные числа матрицы А. Если Aj = ay + i{3j, то и.

И что же получается? Если мультипликатор по модулю больше (меньше, равен) единицы, то это означает только лишь, что ayw больше (меньше, равно) нуля, что, в силу положительности ш. есть просто условие положительности (отрицательности, равенства нулю) числа ay- = ReAj. Вот так раз! Оказалось, что критерии устойчивости для систем с постоянными и с периодическими коэффициентами в случае, когда матрица постоянна, просто совпадают друг с другом, дают один и тот же результат (даже? с учетом оговорок про наличие присоединенных векторов у критических собственных значений). Этот удивительный факт показывает, что Земля все-таки круглая и что математичность проявляется именно в независимости результата от способа его получения.

• [1] На самом деле теорема верна для любой аналитической функции от матрицы, но мы не будем гнаться за обобщениями и приведем ее для случая экспоненты.