Критерий Рауса — Гурвица

Как показывает теорема 27.5. для исследования устойчивости нам достаточно найти собственные значения. Конечно, это не составляет никакого труда, если система имеет второй порядок и характеристическое уравнение квадратное. А если нет? Ведь для системы n-го порядка характеристическое уравнение имеет вид.

т.е. является алгебраическим уравнением n-ой степени. А для такого уравнения формула для вычисления корней не то что не известна ее просто нет и быть не может^[1]. Так что же делать? Опять тупик?

Оказывается, математики хитрее природы. Ну не удается найти корпи и не нужно. Не очень-то и хотелось! Нам ведь нужно что? Положительны или отрицательны их вещественные части! Ну так мы можем это узнать и не находя корней уравнения. Прямо сразу, напрямую.

Что. такой подход кажется удивительным? Однако, оказывается, есть такой критерий, позволяющий прямым вычислением по коэффициентам уравнения прямо сразу определить верно ли, что все вещественные части этих корней отрицательны? Критерий носит имя двух математиков Рауса^[2] и Гурвица^[3]. Это довольно нетривиальная теорема алгебраического характера, доказательство которой читатель может найти в |301, ну, а мы лишь процитируем ее. Интересующиеся могут посмотреть Приложение XV, где мы приводим ее доказательство для п = 2 и п = 3.

Теорема 27.6 Для того, чтобы осе корни многочлена

имели отрицательную вещественную часть, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

• а) все коэффициенты многочлена должны быть положительны: сц > 0;
• б) должны быть положительны все главные диагональные миноры Ai матрицы Гурвица^и

Эдвард Джон Раус E.J. Routh (1831 1907) английский механик и математик, член Лондонского Королевского Общества. Автор специальной итерационной схемы (1877 г.), позволяющей определить число комплексных корней многочлена, лежащих в левой полуплоскости.

Задания для самостоятельной работы.

• 1. Докажите теорему 27.3.
• 2. Сформулируйте и докажите аналоги теорем 27.1−27.5 для случая уравнения n-го порядка.

Каверзные вопросы.

• 1. Докажите теорему Рауса Гурвица самостоятельно.
• 2. Связана ли ограниченность решений систем с переменными коэффициентами со знаками вещественных частей матрицы? Попробуйте поэкспериментировать на скалярном уравнении первого порядка (когда матрица имеет размер 1×1).
• 3. Сформулируйте и докажите критерии устойчивости для «обратного времени¹¹ при t —> —оо. Такого рода устойчивость необходима для восстановления предыстории процесса, но его текущим данным (которые могут измеряться неточно). Насколько существенно неточность измерения влияет на точность восстановления предыстории процесса? Какими параметрами это определяется? Совместима ли устойчивость при t —> -Ьоо и устойчивость при t —> —оо? А асимптотическая устойчивость?

• [1] 8гГочная формулировка этого знаменитого результата такова: не существует конечной формулы, позволяющей с помощью алгебраических операций (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень и извлечение корней) выразить через коэффициенты уравнения корень уравнения степени выше четвертой.
• [2] *°Адольф Гурвиц A. Hurwitz (1859 1919) немецкий математик. Основные работы относятся к математическому анализу, теории функций, алгебре и теории чисел. Критерий был доказан им в 1895 г. на основе схемы Рауса. Впоследствии выяснилось, что для конкретных полиномов удобнее схема Рауса, а для общих рассуждений
• [3] критерий Гурвица