Разложение вектора по базису

Представление вектора в произвольном базисе

. Имеет место слсду;

Пусть система векторов является базисом, а вектор b — их линейная комбинация ющая теорема.

Теорема 1.3. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным.

Доказательство. Предположим, что вектор b может быть представлен в виде линейной комбинации векторов (1.21) двумя способами:

где наборы чисел <�х, — и Р₄., среди которых обязательно есть ненулевые значения, нс совпадают. Вычитая одно равенство из другого, имеем.

Мы получили, что линейная комбинация векторов системы (1.21), в которой коэффициенты нс все равны нулю (в силу несовпадения <�х₄. и Р,), равна нулю, т.с. данная система оказалась линейно зависимой, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему. В

Стало быть, в произвольном базисе пространства Rⁿ

любой вектор этого пространства обязательно представим в виде разложения по базисным векторам

причем это разложение является единственным для данного базиса. В наборе коэффициентов разложения.

числа о., называются координатами вектора Ь в базисе (1.22), и, как следует из сказанного, этот набор единственный для любого вектора в данном базисе.

Выполнение описанной процедуры приводит к системе п линейных уравнений относительно п неизвестных координат а, разложения вектора b в базисе (1.22):

Задача нахождения коэффициентов разложения <�х_{ в случае произвольного базиса (1.22) является, вообще говоря, непростой. Нужно приравнять соответствующие координаты линейной комбинации векторов слева и координаты вектора b. Пусть базисные векторы и вектор b заданы в следующей координатной форме:

Такие системы уравнений и методы их решения представляют отдельные разделы линейной алгебры; они будут рассмотрены ниже.