Лекция IX МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ РАВЕНСТВА ФИГУР

• 1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур.
• 2.

  Введение

  понятия равных треугольников.

• 3. Методика изучения признаков равенства треугольников.

Обучение решению задач с помощью признаков равенства треугольников

Различные подходы к формированию понятия равенства фигур

В учебно-методической литературе изложены различные подходы к введению понятия равенства фигур.

I подход. Вначале дается определение равных (конгруэнтных) фигур, затем рассматривается равенство различных видов фигур (треугольников, четырехугольников и т. д.). Известны различные модификации этого подхода.

• 1. Равенство фигур определяется через отображение фигуры на фигуру, либо через движение (перемещение) плоскости. Первый путь реализован в учебнике геометрии под рсд. А. Н. Колмогорова, второй — в учебнике под рсд.
• 3. А. Скопеца. Отображение, как правило, не определяется; содержание этого понятия раскрывается на конкретных примерах. Опыт работы по учебнику под рсд. А. Н. Колмогорова показал, что реализация этого пути вызывает большие трудности у учащихся.
• 2. Равенство фигур определяется через наложение. Причем, иногда содержание понятия наложения считают интуитивно ясным и не раскрывают его (например, Киселев А. П. Элементарная геометрия. — М., 1980). Иногда понятие наложения относят к основным, а поэтому его содержание и связь с другими основными понятиями описывают с помощью аксиом. Этот вариант реализован в учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др.

И подход. Определению равенства фигур предшествует введение равенства отрезков, углов и треугольников. Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют равные градусные меры. Треугольники называются равными, если у та соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

Равенство фигур определяется через движение: две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Для указанного способа определения равенства треугольников значение имеет порядок в записи вершин.

Реализация этого подхода вызывает ряд методических и психологических трудностей. В частности, учащиеся 7 класса не понимают необходимости настойчивого обращения к аксиомам при обосновании первых утверждений, а опора всякий раз на аксиомы затрудняет логический смысл и усвоение доказательств. Определенные трудности возникают и с необходимостью соблюдать порядок, в котором записываются вершины равных треугольников.

III подход. Оригинальным является изложение равенства фигур в учебнике А. Д. Александрова и др. Как и в учебнике А. В. Погорелова, сначала рассматривается равенство отрезков, затем равенство углов, треугольников, после чего равенство фигур. Однако в данном пособии основу равенства углов и треугольников составляет равенство отрезков. Методическим приемом, облегчающим учащимся усвоение аксиом сравнения отрезков и откладывания отрезков здесь выступает наложение.

Равенство углов определяется через равенство отрезков: два угла с вершинами О и О и сторонами а, b и Я|, Ь называются равными, если на их сторонах найдутся такие точки А, В и А и В j, что отрезки ОА, ОВ, А В равны соответственно отрезкам 0А |, 0 В, АВ, то есть О А = 0А,

OB = 0 В, АВ = АВ. Используя определение равенства углов, легко доказать, что, если в треугольниках АВС и АВС АВ = АВ, АС = АС, ВС = ВС, хо ZА = ZA, zB = ZB_U ZC = ZC. Этот факт позволяет определить равенство треугольников только через равенство их соответственных сторон: треугольники называются равными, если их соответственные стороны равны.

При таком подходе к равенству треугольников вместо обычно трех признаков равенства треугольников рассматриваются два, доказательства которых несложные.