Доверительный интервал. 
Математическая обработка информации

До сих пор мы находили различные числовые характеристики выборки, которые определяются одним числом. Такие оценки называются точечными. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. Поэтому для небольших выборок следует пользоваться интервальными оценками. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальная оценка позволяет установить точность и надежность оценок, а сами интервалы в этом случае называются доверительными.

Доверительным интервалом называется интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью а.

В педагогике наиболее распространенным является оценка математического ожидания, а случайной величины X, распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении а. В этом случае для оценки математического ожидания, а служит интервал

где t-Z= — точность оценки; п — объем выборки; х — выбо- у/п.

рочное среднее; t — аргумент функции Лапласа, при котором — , ч сс ^Ф<‘>=2'.

Пример 7.4. Пусть среднее квадратическое отклонение, а нормально распределенного признака X генеральной совокупности равно 5, объем выборки п равен 100 и выборочное среднее х = 20. Найдем доверительный интервал математического ожидания а при, а = 0,9. Все величины, кроме ?, известны. Найдем t по специальной

0,9

таблице, исходя из соотношения Ф (?) = = 0,45.

Получим, что t = 1,65, следовательно,

или.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что математическое ожидание генеральной совокупности с вероятностью, а = 0,9 окажется внутри полученного интервала.

Во многих педагогических задачах требуется установить и оценить зависимость одной случайной величины от дру-

гой. Две случайные величины могут быть связаны функциональной зависимостью, что случается крайне редко, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величии изменяется выборочная средняя другой. В этом случае статистическую зависимость называют корреляционной.