Решение систем алгебраических уравнений

Большинство задач химической технологии в математической формулировке представляется системами уравнений, определяющих взаимосвязь многих факторов, от которых зависит течение процесса. Они могут возникнуть при обработке экспериментальных данных, когда устанавливается зависимость между отдельными параметрами, при описании массообменных процессов в стационарных условиях, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений конечно-разностными методами и т. д.

Основные определения

Уравнение называется линейным, если неизвестные связаны между собой соотношением.

где Я], а₂,…, а_п, Ь — постоянные коэффициенты, Х, х₂,…, х_п — неизвестные.

Совокупность уравнений вида (26) представляет собой систему линейных уравнений

где а_и ((' =1, 2,…, mj= I, 2,…, п) — постоянные коэффициенты; х, (/ = 1, 2,…, п) — неизвестные величины; b, (j — 1, 2- свободные члены.

Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех ее уравнениях равны нулю.

Коэффициенты системы (27) характеризуются двумя индексами. Первый индекс / указывает, какому уравнению принадлежит данный коэффициент, а второй индекс j указывает, при каком неизвестном он является коэффициентом. Таким образом, местоположение любого коэффициента однозначно определяется его индексами. Например, запись вида «43 означает, что коэффициент 043 стоит в четвертом уравнении при хз. Формально можно принять, что коэффициенты каждого уравнения системы образуют отдельные строки, а коэффициенты при одинаковых неизвестных — соответственно столбцы матрицы. Тогда первый индекс коэффициента а» определяет номер строки, а второй — номер столбца. Такой способ индексации коэффициентов позволяет для записи системы уравнений воспользоваться матричной формой.

Если матрицу коэффициентов системы (27) обозначить через.

а неизвестные и свободные члены соответственно векторами.

то систему (27) можно записать в матричном виде как.

Матрица коэффициентов системы (27) может содержать произвольное число строк т и столбцов п. В этом случае говорят, что матрица имеет размерность т х п. Если т = п, то соответствующая матрица называется квадратной порядка п. Элементы квадратной матрицы, индексы которых равны между собой (т.е. аi =j), образуют главную диагональ матрицы.

Матрица, содержащая одну строку, т. е. размерности 1 х зоз.

п, называется вектор-строкой, а матрица размерности их 1, т. е. состоящая из одного столбца, называется векторстолбцом.

Матрица, содержащая помимо коэффициентов при неизвестных столбец свободных членов, называется расширенной.

Квадратная матрица, все элементы которой (за исключением элементов главной диагонали) равны нулю, называется диагональной. В случае если все элементы диагональной матрицы равны единице, соответствующая матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

Матрица, элементы которой выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется соответственно нижней или верхней треугольной матрицей.

Матрица А^Т, полученная из матрицы А путем замены строк соответствующими столбцами, называется транспонированной. Например,.

Квадратная матрица, совпадающая со своей транспонированной, называется симметрической, т. е. А — А ^Т .

Важной характеристикой квадратных матриц является понятие определителя. Пусть дана матрица.

Определителем (детерминантом) матрицы А является число, равное det А = а_па₂₂ ~a₂t^ai2 ? Если взять матрицу третьего порядка, то ее определитель запишется в виде:

Каждое слагаемое в определителе матрицы третьего порядка является произведением трех элементов матрицы, причем элементы выбираются только по одному из каждой строки и каждого столбца. Столбцы, которым принадлежат элементы каждого слагаемого, образуют некоторую перестановку чисел 1, 2 и 3. Так, например, третьему слагаемому уравнения (28) соответствует перестановка 312.

Поскольку для матрицы порядка п число перестановок равно /?!, то определитель этой матрицы будет содержать п слагаемых. Знак каждого из слагаемых определяется четностью перестановок: если перестановка четная, то знак положительный, если нечетная — отрицательный. Четность перестановки характеризуется числом нарушений возрастающего порядка записи номеров столбцов. Например, в записи 123 нет нарушений, в записи 312 два нарушения — перестановка четная, в записи 132 одно нарушение — перестановка нечетная.

Таким образом, для определителя матрицы порядка п можно записать.

где а_ш — элемент из i строки) столбца; у — 0, если перестановка четная, у- I — если нечетная.

Пусть А — прямоугольная матрица порядка т х п. Если в ней выделить к строк и к столбцов, то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка к. Эта матрица называется подматрицей матрицы А, а ее определитель называется минором к-го порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется порядок наибольшего отличного от нуля минора этой матрицы.

Система уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение. Однородные системы линейных уравнений всегда совместны, так как нулевые значения неизвестных для них являются решением. Совместность неоднородной системы линейных уравнений устанавливается теоремой Кронекера-Капелли.

Для того чтобы система линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов был равен рангу расширенной матрицы.

Например, для системы уравнений

матрица.

имеет ранг, равный 2, так как det А * 0.

Расширенная матрица.

также имеет ранг, равный 2, и, следовательно, система совместна.

Однако система уравнений несовместна, так как ранг матрицы равен 1, в то время как ранг расширенной матрицы равен 2.

Совместная система линейных уравнений может иметь одно или бесконечное множество решений. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а в противном случае — неопределенной. Например, если бы для системы (30) столбец свободных членов был равен Z? = f j,.

то ранг расширенной матрицы был бы также равен 1, и система была бы совместной, но имела бы бесконечное множество решений.

Для того чтобы однородная система п уравнений с п неизвестными имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равен нулю, и наоборот, однородная система имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель равен нулю.

Например, для однородной системы.

определитель матрицы коэффициентов.

не равен нулю, и система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение.

Для однородной системы.

определитель матрицы коэффициентов.

равен нулю, и система имеет бесконечное множество решений, удовлетворяющих соотношению х, = —х₂.

Совместные системы, число уравнений которых меньше числа неизвестных, имеют бесконечное количество решений. Решение таких систем возможно лишь после сведения к определенным системам, т. е. виду, когда число уравнений равно числу неизвестных. Для этого часть неизвестных необходимо зафиксировать. Число фиксируемых неизвестных равно разности между общим числом неизвестных и рангом матрицы. Поскольку фиксируемые переменные могут принимать бесконечное количество значений, система не будет иметь единственного решения. Единственность решения неоднородной системы линейных уравнений устанавливается теоремой Крамера. Для того чтобы неоднородная система п уравнений с п неизвестными имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов был отличен от нуля.

Это решение может быть вычислено по формуле Крамера.

где А — матрица коэффициентов системы; А, — матрица, полученная из А путем замены /'-го столбца матрицы А столбцом свободных членов.

При обработке экспериментальных данных иногда получается система уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений. Такая система называется переобусповлеиной. Вопрос существования и единственности решения должен рассматриваться после приведения ее к нормальному виду, т. е. виду, когда число уравнений равно числу неизвестных.

Одним из методов решения систем линейных уравнений являются формулы Крамера (31). При решении системы п уравнений необходимо п + 1 раз вычислять определитель «-го порядка. Так как затраты машинного времени на вычисление определителей резко возрастают с повышением порядка системы, то метод Крамера существенно проигрывает в скорости по сравнению с другими методами.

Основные свойства определителя. Величина определителя в матричном исчислении используется для установления существования и единственности решения систем линейных уравнений. Рассмотрим основные его свойства.

1. При перестановке двух строк в матрице ее определитель меняет знак.

Например,.

• 2. Если матрица А содержит две одинаковых строки, то ее определитель равен нулю.
• 3. При умножении любой строки матрицы А на произвольное число с ее определитель умножается на это же чис4. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.
• 5. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
• 6. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.
• 7. Если к некоторой строке матрицы А прибавить другую, умноженную на произвольное число, то определитель матрицы не изменится.

Такие операции, как перестановка строк или столбцов, умножение строки на число, отличное от нуля, прибавление к элементам одной строки элементов другой, умноженной на произвольное число, отличное от нуля, носят название элементарных преобразований и широко используются при решении системы линейных уравнений.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, т. е. каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот. При применении элементарных преобразований сохраняется эквивалентность исходной и вновь полученной систем. Это обстоятельство позволяет преобразовать систему к виду, удобному для решения.