Распределение Стьюдента (t-распределение)

Пусть случайные величины ^ …, независимы и каждая имеет стандартное нормальное распределение /V (0,1)^[1]. Говорят, что случайная величина /_я, определенная как.

имеет распределение Стьюдента с п степенями свободы (рис. 3.5). М t_n= 0; D t_n = п / (п — 2) (п > 2); Мо = 0.

Рис. 3.5. Функции плотности распределения Стьюдента с различным числом степеней свободы (для сравнения на том же графике приведена функция плотности нормального распределения).

Источник: Гласс Дж. Стэнли Дж. С. 213.

При больших значениях п вместо распределения Стьюдентаобычно рекомендуется использовать стандартное нормальное распределение. Встает вопрос о том, какие выборки называть большими. В западной традиции большой называют выборку, если п > 30^[2]. Отечественная наука более осторожна: большой называется выборка, если п > 100. Строгих правил здесь в принципе не может быть. Все зависит от того, какая степень надежности получаемых выводов нам требуется. Ответ на вопрос об объеме выборки может дать только практика. При этом российские ученые опираются на практику использования математической статистики в естественных науках и технике, а западные учитывают и опыт гуманитарных наук, где погоня за большой точностью и надежностью зачастую теряет смысл, поскольку достаточно «грубыми» являются результаты измерений рассматриваемых признаков (социолога обычно волнует вопрос о том, то ли он измеряет, что хочет, и вопрос о точности уходит на второй план). Поэтому далее будем считать, что выборки объема более 30 — достаточно большие для того, чтобы распределение Стьюдента подменять нормальным.

И еще один вопрос должен был бы возникнуть у читателя (правда, за 10 лет чтения автором лекций по рассматриваемому предмету студентам-социологам нашелся лишьодин слушатель, задавший этот вопрос): что делать, если л= 1 или п=2. Дисперсия будет отрицательной? Нам представляется полезным дать ответ на этот вопрос, поскольку ответ позволит читателю-социологу вспомнить коечто из интегрального исчисления и лишний раз убедиться в том, что полученные им на первом курсе знания по высшей математике не бесполезны.

Ответ таков: прил=1 или п-2 дисперсия соответствующего распределения Стьюдента не существует.

Позволим себе привести здесь доказательство этого факта для п= 1 (что, на наш взгляд, должно иметь определенное «воспитательное* значение).

Плотность распределения Стьюдента имеет вид:

(—oo < x < +oo, напомним, что так называемая у-функция имеет вид:

ж

Г (г) = Jx^z~'e~^xdx). При п— 1 /(х) принимает вид: о.

где const —некоторая величина, не зависящая от нашей переменной х.

Напомним, что, во-первых, дисперсия случайной величиныхравна D (x) — = М [х — М (х)]² во-вторых, математическое ожидание случайной величины х с плотностью распределения f (x) вычисляется по формуле: М (х) = Jxf (x)dx;

в-третьих, математическое ожидание величины, распределенной по закону Стьюдента, равно нулю. Поэтому для рассматриваемого случая имеет место цепочка равенств: ?" — ?

D (x) = М (х²) = Jx^Jf (x)dx = const J--dx =(x-arctg^ |*" =-" -a =.

= —a. -*.

Другими словами, интеграл расходится, т. е. интересующая нас дисперсия не существует.

• [1] Как отмечают С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян со ссылкой на работу Стьюдента. здесь рассматриваемые случайные величины могут иметь произвольную дисперсию о2, одинаковую для всех §#. Итоговое распределение от этой дисперсии не зависит (см.: Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Теория вероятностей и прикладная статистика.С. 144).
• [2] См.: Bluman A.G. Elementary Statistics.