Критерии устойчивости САУ

Алгебраический критерий устойчивости Рауса-Гурвица

В этом случае исходным при анализе замкнутой САУ на устойчивость является характеристическое уравнение замкнутой САУ:

По критерию Рауса-Гурвица необходимым условием устойчивости замкнутой САУ (в которой все действительные корни характеристического уравнения отрицательные, а у комплексных корней — отрицательная действительная часть) являются положительные коэффициенты а_п…а| и свободный член а₀ исходного характеристического уравнения. Это условие является также достаточным для систем с характеристическим уравнением 1 и 2-го порядков. Естественно, при п = 1 характеристическое уравнение имеет вид.

т.е. если Д|> 0 и а₀> 0, то корень р< 0, и САУ устойчивая. При п = 2 уравнение имеет вид.

В этом случае, если а_{² < 4a₂a_0i корни могут быть комплекс;

(°

ные, но действительная их часть 2а^) всегда будет отрицательной, если а₂₎ Я|, а₀ > 0.

Для систем выше второго порядка при сохранении необходимого условия устойчивости а"… а₀ > 0 достаточным условием будут положительные знаки определителей Гурвица, т. е. главного определителя матрицы и ее диагональных миноров, которые составляются по определенному правилу из коэффициентов а_п…а_] и свободного члена а₀ характеристического уравнения замкнутой САУ.

Для системы третьего порядка с характеристическим уравнением.

определитель такой матрицы.

При этом если А, > 0, то САУ устойчивая.

Для системы четвертого порядка с характеристическим уравнением.

должен быть положительным главный определитель Гурвица:

а также определитель диагонального минора:

Следовательно,.

Данный алгебраический критерий устойчивости для систем выше пятого порядка, как правило, не применяется, поскольку тогда вычисление определителей Гурвица становится сложной задачей. Для таких систем можно применить частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста.