Изучение четырехугольников на факультативных занятиях по геометрии

Изучение четырехугольников на факультативных занятиях по геометрии

Что бы хорошо владеть знаниями по геометрии в школах лишь одних уроков не хватает, требуется дополнительные курсы. В таких ситуациях польза факультативных курсов по геометрии высока, так как факультативные занятия являются самой массовой формой, доступной для всех школьников. В свою очередь, факультативный курс по сравнению с основным курсом геометрии обладает некоторыми преимуществами: факультативные занятия позволяют учащимся убедиться в устойчивости своих интересов, глубже знать и критически оценивать свои возможности, то есть факультативные курсы расширяют и углубляют знания и умения, приобретаемые школьниками при изучении основного курса. Помимо того, они позволяют формировать и развивать у учащихся разносторонние интересы, культуру мышления, умение самостоятельно восполнять знания, приобщают школьников к самостоятельной исследовательской работе, дают возможность познакомиться с некоторыми современными достижениями науки.

В рамках гуманизации образования, факультативные занятия способствуют раскрытию внутреннего потенциала учащихся, созданию условий для их самореализации и развития. Факультативные курсы позволяют наиболее успешно применять индивидуальный подход к каждому школьнику с учётом его способностей, более полно удовлетворять познавательные и жизненные интересы учащихся. При этом форма организации занятий более свободна и предполагает в большей степени творческую активность учащихся. К тому же программы факультативных курсов не являются жёсткими и допускают коррекцию.

Тема выпускной квалификационной работы была выбрана исходя из того, что факультативные курсы имеют огромное значение для усвоения школьниками учебного материала и овладения дополнительными знаниями по геометрии с использованием доступных и интересных методов.

В работе рассмотрены основные цели и задачи, внеклассных мероприятий, методика их проведения, требования к ним, а также современные методы и средства в проведении факультативных занятий.

Предмет исследования — факультативные курсы по геометрии, содержание, методы, формы, средства изучения для учащихся 8 классов средней школы.

Цель выпускной квалификационной работы — изучение свойств четырехугольников и адаптация их к школьному курсу геометрии.

Для достижения цели исследования были определены следующие задачи:

1. Подбор и изучение литературы по теме выпускной квалификационной работы.

2. Подбор и решение задач по теме «Четырехугольники».

3. Анализ изложения темы «Четырехугольники» в различных школьных учебниках.

4. Разработка занятий факультатива по теме исследования.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников и приложений.

1. Теоретический аспект понятия «Четырехугольники» в школьном курсе геометрии

1.1 Историческая справка о четырехугольниках

Возникновение геометрии восходит к глубокой древности и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности (необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов различных тел и т. д.).

Простейшие геометрические сведения и понятия были известны еще в Древнем Египте. В этот период геометрические утверждения формулировались в виде правил, даваемых без доказательств.

С VII века до н.э. по I век н.э. геометрия как наука бурно развивалась в Древней Греции. В этот период происходило не только накопление различных геометрических сведений, но и отрабатывалась методика доказательств геометрических утверждений, а также делались первые попытки сформулировать основные первичные положения (аксиомы) геометрии, из которых чисто логическими рассуждениями выводится множество различных геометрических утверждений. Уровень развития геометрии в Древней Греции отражен в сочинении Евклида «Начала».

В этой книге впервые была сделана попытка дать систематическое построение планиметрии на базе основных неопределяемых геометрических понятий и аксиом (постулатов).

Особое место в истории математики занимает пятый постулат Евклида (аксиома о параллельных прямых). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь в середине XIX века благодаря исследованиям Н. И. Лобачевского, Б. Римана и Я. Бойяи стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.

«Начала» Евклида оказали огромное влияние на развитие математики. Эта книга на протяжении более чем двух тысяч лет была не только учебником по геометрии, но и служила отправным пунктом для очень многих математических исследований, в результате которых возникли новые самостоятельные разделы математики.

Систематическое построение геометрии обычно производится по следующему плану:

I. Перечисляются основные геометрические понятия, которые вводятся без определений.

II. Дается формулировка аксиом геометрии.

III. На основе аксиом и основных геометрических понятий формулируются остальные геометрические понятия и теоремы.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1).

Виды четырёхугольников Параллелограмм Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма противолежащие стороны равны;

противоположные углы равны;

диагонали точкой пересечения делятся пополам;

сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d12+d22=2 (a2+b2).

Признаки параллелограмма Четырехугольник является параллелограммом, если:

Две его противоположные стороны равны и параллельны.

Противоположные стороны попарно равны.

Противоположные углы попарно равны.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника все свойства параллелограмма;

диагонали равны.

Признаки прямоугольника Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.

Его диагонали равны.

Ромб четырехугольник геометрия факультативный курс Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба все свойства параллелограмма;

диагонали перпендикулярны;

диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба Параллелограмм является ромбом, если:

Две его смежные стороны равны.

Его диагонали перпендикулярны.

Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата все углы квадрата прямые;

диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Основные формулы Произвольный выпуклый четырехугольник

d1, d2 — диагонали; - угол между ними; S — площадь.

S =d1d2 sin

Параллелограмм

a и b — смежные стороны; - угол между ними; ha — высота, проведенная к стороне a.

S = aha

S = ab sin

S =d1d2 sin

Трапеция

a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.

S = lh

Прямоугольник

S = ab

S =d1d2 sin

Ромб

S = aha

S = a2sin

S =d1d2

Квадрат

d — диагональ.

S = a2

S =d2

1.2 Методические основы изучения темы «Четырехугольники» в курсе геометрии

Изучение четырехугольников в курсе геометрии основной школы является разделом традиционным и достаточно важным во всех периодах школьного образования. В курсе геометрии 7−9-х классов данная тема является весьма актуальной, так как на рассмотренном материале, как на фундаменте, строят и изучают другие разделы геометрии: преобразование фигур, площади, многоугольники. Кроме того, изучение многогранников, площадей и объемов также базируется на этой теме.

Естественно, что учитель при подготовке к преподаванию этой темы должен четко себе представлять обобщенные цели и учебные задачи, которые ставятся при обучении теме «Четырехугольники», иметь перед собой карту изучения темы. Поэтому я предлагаю разработанный мною материал по данной теме.

Диагностируемые цели обучения теме.

Цель 1: приобретение учебной информации и установление интеллектуальных умений при изучении: а) понятий, б) теорем, в) типов задач.

Цель считается достигнутой, если ученик на уровнях:

Цель 2: контроль усвоения теоретических знаний при работе: а) с геометрическими понятиями; б) с теоремами; в) с типами и классами задач.

Цель считается достигнутой, если ученик на уровнях:

Цель 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении геометрических и учебных задач.

Цель считается достигнутой, если ученик на уровнях:

Цель 4: формирование коммуникативных умений через включение в групповую работу; взаимопомощь, рецензирование ответов, организацию взаимоконтроля и взаимопроверки на всех уровнях.

Цель считается достигнутой, если ученик:

работая в группе, оказывает помощь, рецензируют ответы товарищей по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием, организует взаимоконтроль; б) оказывает помощь работающим на предыдущих уровнях; в) в соответствии с темой готовит сообщение и выступает с ним; г) составляет контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы.

Цель 5: формирование организационных умений (целеполагание, планирование, реализация плана, саморегуляция универсальных познавательных действий).

Цель считается достигнутой, если ученик:

формулирует цели своей учебной деятельности; б) выбирает задачи и решает их; в) осуществляет самопроверку с использованием образцов, приемов; г) составляет контрольную работу для своего уровня усвоения; д) оценивает свою итоговую деятельность по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делает выводы о дальнейших действиях, планирует коррекцию учебной познавательной деятельности.

Диагностируемые учебные цели при изучении понятий

Диагностируемые учебные цели при изучении теорем

Карта изучения темы.

I. Логическая структура темы «Четырехугольники»

II. Актуализация: треугольник, его элементы; признаки равенства треугольников; параллельность прямых.

III. Теоретическое содержание темы

§ 1. Понятия: четырехугольник, его виды и элементы;

§ 2. Понятия: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Теоремы: признак параллелограмма, свойство диагоналей параллелограмма, свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма; свойство диагоналей прямоугольника; свойство диагоналей ромба.

§ 3. Понятия: средняя линия треугольника, трапеция, средняя линия трапеции. Теоремы: теорема Фалеса, свойство средней линии треугольника, свойство средней линии трапеции.

§ 4. Теорема о пропорциональных отрезках.

§ 5. Построение четвертого пропорционального отрезка.

IV. Образец контрольной работы № 1.

V. Средства обучения.

VI. Внеаудиторная самостоятельная деятельность

§ 1. п 50−56 вопросы № 1−14 стр. 78; № 1−3,8, 9, (5 б), № 4,5,6,11, 36, 37, (7б) № 7,12,13,15,16,17,24,25,26,35. (7 б), № 10, 14,18,19,20,21,22,23,40, 43,44, (8б). № 27,28,29,30,31,32, 33,34,38,39, 41,42,45,46,47 (9б). Ц 2, 3, 5 своего уровня;

§ 2. п. 57−59 вопросы 15−19 стр. 78,79. № 48,49, 50,51,61. (7 б), № 52,53,54,55,56,57, 60,62,63,65,66,68,69. (8 б), № 58,64,59,67,70. (9 б), № 71,72. (10 б), Ц 2, 3, 5 своего уровня.

VII. Индивидуальные задания:

1. В мире четырехугольников.

2. Четырехугольники и хиромантия.

3. Четырехугольники в архитектуре.

4. Лоскутная техника и четырехугольники.

5. Удивительный квадрат.

6. Другие темы.

VIII. Регулятивные УУД при освоении понятий, теорем, решении задач; познавательные; личностные; коммуникативные.

Использование построенной иерархии целей и задач, карта изучения темы позволяет:

1) концентрировать усилия учителя и учеников на главном, определять первоочередные задачи, порядок и перспективы дальнейшей работы;

2) обеспечить ясность и гласность процесса обучения (разъяснить учащимся ориентиры в их общей учебной работе, обсудить их, довести до понимания любых заинтересованных лиц, например родителей);

3) создать эталоны оценки результатов обучения (четкие формулировки целей, которые выражены через результаты деятельности, поддаются объективной оценке, которая может разрабатываться и уточняться вместе с учениками);

4) обеспечить ученикам возможность достижения целей на выбранном уровне усвоения геометрии.

Таким образом, обучение учащихся самостоятельному решению задач требует определенной методики изучения теоретического материала курса, основанной на системном усвоении понятий.

2. Основные понятия факультативных занятий по теме «Четырехугольники»

2.1 Общее понятие о факультативном курсе

Факультативный курс — это необязательный учебный курс, предмет, изучаемый по желанию студентами вузов, учащимися средних специальных и профессионально-технических учебных заведений и общеобразовательных школ (старшие классы). Термин «факультативный» (от франц. facultatif и лат. facultas — возможность) означает возможный, необязательный, предоставляемый на выбор (напр., факультативный курс), действующий от случая к случаю. Согласно Педагогической энциклопедии, в современной школе факультативные курсы (темы) являются дополнением к основному объёму общеобразовательных знаний, который определяется учебным планом и программами, а факультативные занятия — это необязательные занятия, организуемые для углубления и расширения знаний по отдельным курсам, темам или вопросам в соответствии с желаниями и интересами учащихся.

Слово «факультативный» означает «необязательный». Название подчёркивает отличительную особенность этого вида учебной деятельности. Она связана с добровольным выбором учениками для углубленного изучения тех предметов, которые их более всего интересуют. Это сближает факультативные занятия с внеклассными формами познавательной деятельности, например, с предметными кружками.

В основе организации курса лежит принцип добровольности. В каждом классе имеется некоторое число учащихся, интересующихся изучаемым предметом. Собрать их на первое занятие не трудно. Обычно для этой цели достаточно, чтобы учитель рассказал учащимся о том, чем они будут заниматься, какую им это принесет пользу, что они при этом узнают нового и интересного и то, что факультативные курсы дают им возможность расширять и углублять научных и прикладных знаний, развивать способностей и удовлетворить их личных интересов.

Факультативные курсы — это также форма углубленного изучения одного из предметов по выбору учащихся, средство развития познавательных интересов школьников, их способностей, а также профессиональной ориентации учащихся.

В отличие от внеклассных занятий, факультативы проводятся по области программы, по расписанию, в рамках отведенного времени, с постоянным составом учащихся.

Факультативные занятия имеют организационно-управленческие преимущества перед внеклассными занятиями. Факультативные занятия организуются и реализуются, как и внеклассные занятия, в соответствии с интересами и индивидуальными способностями учащихся, но проводятся, как и уроки, согласно расписанию, имеют постоянный состав учащихся.

Как и уроки, факультативные занятия проводятся по утверждённым программам, на этих занятиях применяют общие с уроком методы обучения и формы организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся. Сходство с предметными кружками состоит в том, что факультатив, как и кружок, объединяет группу учащихся на основе общих интересов, добровольности выбора этой формы обучения. На факультативных занятиях применяются некоторые формы и методы, характерные для внеклассных занятий. Тем не менее учитель должен помнить, что факультативы не заменяют внеклассную работу по предмету. Являясь самостоятельной частью учебно-воспитательной работы в школе, факультативы могут дополняться внеклассными (кружковыми) занятиями, на которых учащиеся в ещё большей степени углубляют и расширяют свои знания и умения.

С 1970 года были организованы факультативные курсы следующих типов:

1. Систематические курсы, целью которых было углубление теоретических знаний учащихся и практической подготовки, полученных в основном курсе, с которым данные факультативы согласованы тематически и во времени.

2. Специальные курсы (спецкурсы), тематика которых связана лишь с некоторыми разделами основного курса.

3. Прикладные факультативные курсы, которые связаны с основным курсом и знакомят учащихся с применением теоретических знаний на практике.

В 80-х годах была принята следующая классификация факультативных курсов:

1. Факультативные курсы повышенного уровня, целью которых было углублённое изучение содержания основного курса.

2. Специальные курсы (спецкурсы), на которых углублённо изучаются только отдельные разделы, темы основного курса или некоторые не входящие в программу разделы науки.

3. Прикладные факультативные курсы. Они связаны с развитием интересов к современной технике и производству.

4. Межпредметные факультативные курсы, при изучении которых используются сведения из 2−3 предметов.

М.А. Прокофьев предлагает следующую классификацию факультативных курсов:

1. Курсы, углубляющие основной материал школы (т.е. систематические курсы);

2. Внепрограммные факультативные курсы (т.е. спецкурсы);

3. Факультативные курсы, ориентированные на применение знаний на практике (т.е. прикладные);

4. Межпредметные факультативные курсы;

5. Особая группа — кружки, секции, творческие объединения в домах пионеров.

Типы факультативных курсов:

1. Дополнительные главы и вопросы к основному курсу

2. Специальные курсы (спецкурсы)

3. Систематические курсы

4. Прикладные факультативные курсы

5. Факультативы повышенного уровня

6. Факультативные спецкурсы

6. Курсы, углубляющие основной материал школы (т.е. систематические курсы)

7. Внепрограммные факультативные курсы (т.е. спецкурсы);

8. Факультативные курсы, ориентированные на применение знаний на практике.

9. Межпредметные факультативные курсы

10. Кружки, секции, творческие объединения в домах пионеров Советам вузов (факультетов), педагогическим советам средних специальных и профессионально-технических учебных заведений и общеобразовательных школ предоставлено право организовывать факультативные курсы по своему усмотрению в соответствии с интересами студентов и учащихся. Перечень факультативных курсов в школе на каждый год утверждается педагогическим советом и объявляется учащимся.

Поскольку результативность учебно-воспитательного процесса зависит главным образом от «массовости» занятий, то преемственность и взаимосвязь уроков и факультативных занятий должны рассматриваться в такой последовательности: уроки геометрии — внеклассные занятия — факультативные занятия. Самая массовая форма обучения — уроки — главное звено этой цепи. Факультативные занятия (в отличие от отдельных внеклассных мероприятий — таких, как, например, математические вечера) не могут охватить всех учащихся. Поэтому внеклассные занятия по степени массовости занимают второе место. Следует отметить, что каждое последующее звено работы должно рассматриваться с учетом завершения задач, возложенных на предыдущее звено (на предыдущие звенья — для факультативных занятий).

Каждая из форм обучения — уроки и факультативные занятия — обладает собственной ценностью, имеет свои специфические задачи. Именно эти задачи должны определять «обратные» требования к каждому предыдущему звену цепи «уроки — внеклассная работа — факультативные занятия», например, с учетом пропедевтики, с учетом выполнения задач последующего звена (последующих звеньев — для уроков геометрии).

Существенную роль на факультативных занятиях играет самостоятельная работа учащихся. Для формирования устойчивого интереса учащихся к изучению геометрии учителя считают важным обеспечить взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий. Один из эффективных приемов в этом плане и одна из целей факультативных курсов — непосредственное знакомство учащихся с новыми идеями и методами в действии, с их применением к задачам, которые «программными» методами решаются гораздо сложнее.

Активная самостоятельная работа учащихся присуща урокам геометрии вообще. Очевидно, эта их особенность может быть спроецирована и на факультативные занятия. Здесь можно использовать такие виды самостоятельной работы, как доклады учащихся и их обсуждение, подготовка рефератов, изготовление наглядных пособий, чтение специальной литературы. В условиях занятий с группой учащихся большое значение приобретает умение учителя активизировать самостоятельную деятельность учащихся, рационально сочетать свои вопросы, задания и объяснения с индивидуальной и коллективной работой учащихся.

Таким образом, активизация самостоятельной работы учащихся — необходимое комплексное условие повышения эффективности факультативов.

Самостоятельная работа может быть продуктивной при осуществлении ее контроля со стороны учителя, самоконтроля и своевременной помощи отстающим, что является одним из элементарных требований преемственности в обучении.

Опыт показывает, что на факультативных занятиях можно применять такие современные средства обучения, как предметные модели, литературу по предмету (на уроках это, прежде всего, учебники), дидактические материалы с печатной основой и т. п., такие технические средства, как кодоскопы, тренажеры и другие обучающие устройства. Преимущества использования таблиц, плакатов, других обучающих материалов перед «меловым» способом обучения, когда все графические изображения даются учителем на доске в ходе урока путем весьма нерационального использования учебного времени, по-видимому, не нуждаются в пространной аргументации.

Требования преемственности методов и средств обучения позволяют говорить о необходимости активной самостоятельной работы учащихся вообще на всех занятиях по геометрии. Главное — учителю следует стремиться, чтобы работа учащихся не ограничивалась лишь решением типовых задач и выполнением обычных упражнений, так как основная цель этих занятий заключается в развитии творческой инициативы школьников, их познавательных способностей, геометрического мышления.

Еще одна важная рекомендация: процесс обучения должен строиться как совместная исследовательская деятельность учащихся: геометрическая истина (определенное правило, теорема, свойство) не сообщается ученикам в «готовом» виде, а открывается ими самими. Процесс этот начинается с наблюдений, предположений, суждений (о возможном способе решения, о возможном содержании теоремы, правила), после чего следует проверка, поиски дедуктивного обоснования выводов, обобщение, анализ прикладных возможностей. Исследовательская или проблемная структура изучения геометрии удачно сочетается с развивающими целями обучения в ходе именно факультативных занятий. Не случайно эта структура органически сочетается с одновременным выполнением ряда «развивающих» требований — требований использования историко-математического материала, использования материала «занимательной» геометрии и других им подобных областей.

Интерес учащихся к изучению геометрии, базируясь на занимательности (в узком смысле слова), должен поддерживаться и другими средствами: привлечением историко-математического материала (с целью знакомства с прошлым и настоящим науки, а также ее перспективами), решением жизненных задач, связью с потребностями, выдвигаемыми практической деятельностью человека.

Без определенной подготовки надеяться включить учащихся в успешную многоэтапную творческую поисковую деятельность нереально — успех надо готовить. Полезны специальные логические упражнения. Для освоения методов научного познания учитель может дать ученикам задание на применение этих методов, не называя их: например, сравнить (сопоставить или противопоставить) объект или явление, сделать вывод по аналогии, обобщить информацию, что-то конкретизировать, осуществить классификацию и т. п. Благодаря таким упражнениям, представляющим логические задания на программном материале геометрии, учебная работа школьников превращается в школу логического мышления. При этом достигается углубление полученных знаний, интенсивно формируется интерес учащихся к изучению школьного курса геометрии. Как правило, большой интерес учащихся вызывает исследование возможностей обобщения способов решения данной задачи, решение целого ряда родственных ей задач.

Итак, из всего сказанного можно выделить методические рекомендации по организации геометрических факультативов:

1. Обеспечивать взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий;

2. Соблюдать принцип единства в содержании факультативных занятий и различных разделов геометрии;

3. Активизировать самостоятельную работу учащихся;

4. Строить учебный процесс как совместную исследовательскую деятельность учащихся;

5. Использовать на факультативных занятиях системы ключевых задач по темам;

6. Использовать на факультативных занятиях историко-математический материал;

7. Соблюдать принципы занимательности занятий;

8. Организовывать проблемное изучение материала.

В различных учебниках изложение материала рассмотрено по-разному, по этому учителю нужно сочетать свою работу с материалом изложения на страницах других учебников.

2.2 Анализ учебников по теме «Четырехугольники» в школьном курсе математики основной школы

Понятие четырехугольник вводится в зависимости от того, как и когда введено понятие многоугольника:

— в учебнике Л. С. Атанасяна четырехугольник вводится как частный вид многоугольника;

— в учебнике А. В. Погорелова понятие многоугольника вводится значительно позже, поэтому дается определение, аналогичное определению треугольника: «Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться».

В теме «Четырехугольники» рассматриваются выпуклые и невыпуклые четырехугольники. Для более наглядного представления полезно составить следующую схему:

Основанием для классификации выпуклых четырехугольников является наличие параллельных сторон: в случае одной пары параллельных сторон из класса четырехугольников выделяется множество трапеций, в случае двух пар параллельных сторон — множество параллелограммов.

Структурно — логическая схема основных классов геометрических фигур, составляющих её, имеет вид:

При классификации всех четырехугольников за основание классификации принимается сначала взаимное расположение противоположных сторон — не параллельность или параллельность их, вследствие чего множество всех выпуклых четырехугольников разбивается на три класса:

— четырехугольники, не имеющие параллельных сторон;

— трапеции (одна пара параллельных сторон);

— параллелограммы (две пары параллельных сторон).

За основание классификации параллелограммов принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно параллелограммы и ромбы), а также отсутствие или наличие прямого угла (собственно параллелограммы и прямоугольники).

В основу классификации ромбов кладется отсутствие или наличие прямого угла (собственно ромбы и квадраты).

При классификации прямоугольников за основание принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно прямоугольники и квадраты).

Классификация трапеции проводится сначала по длине боковых сторон (равнобокая и неравнобокая трапеции); затем неравнобокие трапеции в свою очередь разбиваются на прямоугольные и непрямоугольные.

Описанный процесс составления классификации четырехугольников, в частности выпуклых четырехугольников, в основу которого положена последовательная целенаправленная деформация каждой вновь полученной фигуры (получить сначала параллельные, а потом и равные стороны, затем прямые углы), позволяет отчетливо выяснить генетический характер образования каждого частного вида выпуклых четырехугольников. Из четырехугольника с непараллельными сторонами получаются трапеции и параллелограммы, из параллелограммов — прямоугольники и ромбы, из ромбов и прямоугольников — квадраты.

Выяснение этого генезиса — происхождения одной фигуры из другой — помогает более отчетливому восприятию самих геометрических образов, выяснению связей между ними, а в силу этого позволяет распространять свойство одной более общей фигуры, например параллелограмма, на частные виды ее, на прямоугольник, ромб и квадрат. Представим это на схеме. Такую схему полезно использовать при обучении школьников (приложение А).

Во всех действующих в настоящее время пособиях (см. [1], [2], [14], [18]) осуществляется одинаковый подход во введении частных параллелограммов: прямоугольников, ромбов и квадратов. Частные виды четырехугольников рассматриваются в соответствии с условной единой методической схемой:

— дается определение (через ранее изученный вид четырехугольников);

— указываются элементы;

— формулируются и доказываются свойства и признаки;

— рассматривается задача на построение этого четырехугольника.

Квадрат в одних учебниках вводится как четырехугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом. В других — квадрат определяется как частный вид прямоугольника. В большинстве учебников трапеция рассматривается после параллелограмма и его частных видов. Тема имеет большие возможности для развития логического мышления.

— легко выявляется логическая структура темы. Полезно использовать структурно-логические схемы;

— используются формально-логические определения (через ближайший род и видовое отличие).

Определить понятие, значит перечислить его существенные свойства, а это зачастую бывает нелегко. Однако, задача упрощается, если использовать ранее изученные понятия. Сказанное обусловило способ определения понятия, называемый «через ближайший род и видовое отличие». Конструирование определения этим способом заключается в следующем:

1. Указывается род, в который входит определяемое понятие как вид.

2. Указываются видовые отличия и связь между ними.

Пример: трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Род — четырехугольник. Видовое отличие, — у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Изучение свойств четырехугольников обычно не вызывают затруднений. При установлении различных свойств и признаков параллелограмма широко используются свойства и признаки равных треугольников, свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третей, признаки параллельности. Материал о параллелограммах и их частных видах очень удобен для формирования и развития логического мышления учащихся. Именно здесь учитель имеет широкие возможности по работе с определениями: например, предложить ученику дать определение прямоугольника через понятие четырехугольника, параллелограмма и т. д. учащимся по силам самим установить, а затем и доказать различные свойства и признаки параллелограмма и трапеции.

Например:

При доказательстве теорем ученики, как показывает опыт, часто путают, признаки, свойства определения, не верно строят логические цепочки, умозаключения. Поэтому при работе с понятиями необходимо уже на этой теме формировать дедуктивное мышление, учить построению схем, таблиц, выявлять зависимости; делать правильные классификации, например, используя круги Эйлера.

В курсе планиметрии основным способом помогающим организовать материал, усвоить всю совокупность свойств фигуры, является создание некоторого образа, связываемого с понятием. В самом деле, что мы представляем себе, когда произносим или читаем слово «параллелограмм». Обычный параллелограмм, с диагоналями, которые в точке пересечения делятся пополам. Создание такого образа помогает многократное выполнение одного и того же чертежа, на котором все свойства видны. Этому способствуют и такие методические приемы, как обзор всех свойств, приводимых учителем, или опрос не по отдельным свойствам или теоремам, а по всей совокупности свойств фигуры: «Что вы знаете о трапеции?», «Перечислите все свойства прямоугольника» и т. д.

К 12−13 годам, когда ученик приступает к изучению геометрии, непосредственный интерес к ее освоению уже практически утрачен, еще по-настоящему не проявившись. Ни один предмет не начинают изучать в школе с таким запозданием (по отношению к психологически благоприятному периоду), как геометрию. Наглядно-образное мышление и воображение наиболее полно развиваются на стыке старшего дошкольного и младшего школьного возраста.

Наглядная геометрия предполагает изучение свойств геометрических форм только на отдельных геометрических предметах путем непосредственного их восприятия и представления. При этом учитель не прибегает к общим отвлеченным понятиям этих форм. Для обоснования справедливости находимых свойств может широко использоваться индуктивный метод.

Впервые, в школьном курсе математики, с четырехугольниками школьники встречаются в начальной школе. Если обучение идет по учебникам Л. Г. Петерсона, то это второй класс. Если по учебникам М. И. Моро, то это третий класс. Изучение четырехугольников, а именно прямоугольника и квадрата, идет поверхностно. В основном изучается периметр и площадь, так как при решении задач на нахождение площади и периметра отрабатывается умение применять операции сложения, вычитания, умножения и деления. А это одно из основных умений, которые должны выработаться в начальной школе.

В 5 и 6 классах школьники также встречаются с четырехугольниками. Как и в начальной школе, изучение идет поверхностно. К прямоугольнику и квадрату добавляются параллелограмм и трапеция.

Более подробно тема «Четырехугольники» изучается в курсе геометрии в восьмом классе. Рассмотрим, как предлагается изучение данной темы разными авторскими коллективами в учебниках геометрии, рекомендованных Министерством образования РФ.

1 «Геометрия, 7−9 класс», автор Л.С. Атанасян

Тема «четырехугольники» изучается в начале восьмого класса. На её изучение отводится целая глава. Первый параграф данной главы посвящен многоугольникам. Дается определение многоугольника (п. 39), а также что называют вершинами и сторонами многоугольника. Говорится, что называется n-угольником. Приводятся примеры фигур, которые являются многоугольниками и тех, которые не являются многоугольниками. Дается определение соседних вершин и диагоналей многоугольника. В конце данного пункта говорит о том, что любой многоугольник разделяет плоскость на две части (внутренняя и внешняя область многоугольника).

В следующем пункте первого параграфа (п. 40) автор рассказывает о выпуклых многоугольниках. Приводит пример выпуклого и невыпуклого многоугольника. Рассматривая выпуклый n-угольником A₁A₂A₃…A_n-1A_nA₁ автор говорит, что углы A_nA₁A₂, A₁A₂A₃, …, A_n-1A_nA₁ называются углами этого многоугольника и показывает чему равняется сумма углов выпуклого n-угольника.

Последний пункт данного параграфа (п. 41) посвящен четырехугольнику. Автор не дает определения четырехугольника, он просто говорит, что четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Дает определение противоположных сторон и вершин. Приводит пример выпуклого и невыпуклого четырехугольника. На основании суммы углов выпуклого n-угольника делается вывод, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360є.

Второй параграф посвящен параллелограмму и трапеции. При изучении параллелограмма (п. 42) дается его определение, и доказываются его свойства. Л. С. Атанасян предлагает другой способ доказательства свойств параллелограмма по сравнению с учебником. Данные доказательства являются меньшими по объему и легче усваиваются учениками.

В следующем пункте параграфа (п. 43) рассказывается о признаках параллелограмма. В отличие от А. В. Погорелова Л.С. Атанасян рассматривает три признака параллелограмма. Это позволяет быстрее решать задачи на доказательство.

Последний пункт параграфа (п. 44) отводится трапеции. В этом пункте дается определение трапеции и рассматриваются виды трапеции. В этом учебнике также предлагается для изучения теорема Фалеса, но в явном виде она не выделена отдельным пунктом (по сравнению с учебником [14]).

Третий параграф посвящен прямоугольнику, ромбу и квадрату. Определение прямоугольника и ромба даются на основе параллелограмма (аналогично с учебником [14]). Так как прямоугольник и ромб являются параллелограммом, то они обладают всеми свойствами параллелограмма (этот факт не оговаривается в учебнике [14]). Также в учебнике рассматривается особые свойства прямоугольника и ромба. Определение и свойство квадрата рассматриваются подобно, что и в учебнике [14], добавляются особые свойства квадрата.

В конце параграфа отдельным пунктом (п. 47) выделена осевая и центральная симметрия. В конце главы предлагаются задачи на отработку ЗУН.

Изучение четырехугольников в учебнике Л. С. Атанасяна идет по следующей схеме:

2 «Геометрия, 7-9 класс», авторы И.М. Смирнова, В.А. Смирнов

Тема «Четырехугольники» изучается в восьмом классе в главе «Параллельность».

В первом параграфе рассматриваются параллельные прямые. Дается определение параллельных прямых, секущей. Определяются соответственные, внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы. Доказывается признак параллельности двух прямых, и рассматриваются три следствия данной теоремы. Также доказывается теорема о равенстве внутренних накрест лежащих углов.

Следующий параграф посвящен сумме углов многоугольника. Сначала доказывается, что сумма углов треугольника равна 180⁰, а затем переходят к доказательству общего случая.

В третьем параграфе рассматривают параллелограмм. Дается определение параллелограмма, доказывается три его свойства. Рассмотрен пример на применение свойств параллелограмма. На признаки параллелограмма отводится четвертый параграф, в котором доказываются первый и второй признаки параллелограмма. Приведено два примера на применение данных признаков.

В пятом параграфе рассмотрены прямоугольник, ромб и квадрат. Прямоугольник и ромб определяются через параллелограмм. Авторы отмечают, что прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма и приводят доказательство признака прямоугольника (если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник).

Ромб также является параллелограммом, следовательно, он обладает всеми его свойствами. Приводится доказательство признака ромба (если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб).

Квадрат определяется через прямоугольник. Авторы отмечают, что квадрат также является ромбом, у которого все углы прямые. На основании этого следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Перед изучением трапеции авторы рассматривают теорему о средней линии треугольника. Дают определение средней линии треугольника и приводят доказательство теоремы. Этот шаг оправдан, так как при доказательстве теоремы о средней линии трапеции используется теорема о средней линии треугольника. Определение трапеции такое же, как и в других учебниках (см. [1], [2], [14]). Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны. Дается определение равнобокой, прямоугольной трапеций, средней линии трапеции. Приводится доказательство теоремы о средней линии трапеции и рассматривается следствие из данной теоремы.

В конце главы приводится доказательство теоремы Фалеса, которая является обобщением теорем о средней линии треугольника и трапеции. В конце каждого параграфа и главы приводятся вопросы и задачи для проверки ЗУН учащихся.

3 «Геометрия, 7−11 класс», автор А.В. Погорелов

Тема «Четырехугольники» изучается в восьмом классе. Этой теме в учебнике посвящен шестой параграф.

В первом пункте параграфа (п. 50) дается определение четырехугольника и предлагается задача на усвоение определения. Рассказывается, какие стороны и вершины называются соседними и противоположными. Дают определение диагоналей и периметра четырехугольника В следующих пунктах (п.п. 51 — 56) дается определение параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата. Определение прямоугольника и ромба даются на основе параллелограмма. Доказывается признак параллелограмма. Доказываются свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Рассматривается по одной задаче на каждое свойство параллелограмма. Для ромба и прямоугольника предлагаются задачи на использование определения. Определение квадрата дается на основе прямоугольника. Так же говорится, что квадрат является ромбом, так как стороны квадрата равны. На основе этого делается вывод, что квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба. Приводится пример использования определения при решении задачи.

Так же в данном параграфе изучается теорема Фалеса (п. 57) и средняя линия треугольника (п. 58). После приведения доказательства теоремы Фалеса автор делает замечание, что в качестве сторон угла можно взять любые две прямые. Предлагается задача разделить отрезок на n равных частей. При изучении средней линии треугольника дается определение и доказательство теоремы о средней линии треугольника.

В следующем пункте (п. 59) рассматривается еще один вид четырехугольника — трапеция. Вводятся определения трапеции и средней линии трапеции. Доказывается теорема о средней линии трапеции.

В последних пунктах параграфа (п.п. 60 — 61) доказывается теорема о пропорциональных отрезках и рассказывается, как построить четвертый пропорциональный отрезок.

4 «Геометрия, 7−9 класс», автор И.Ф. Шарыгин

Тема «Четырехугольники» изучается в главе «Подобие».

Первый параграф данной главы посвящен теме «Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат».

Свойства и признаки параллелограмма объединены в одну теорему, доказательство которой здесь же приводится. Автор отмечает, что из определения прямоугольника следует параллельность его противоположных сторон, то есть прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Приводится доказательство теоремы о свойствах прямоугольника.

Свойства и признаки ромба также объединены в одну теорему, доказательство которой здесь же приводится. Автор отмечает, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба, так как он является и прямоугольником, и ромбом. Еще один вид четырехугольника, а именно трапеция, изучается после теоремы Фалеса и теоремы о средней линии треугольника. Трапеция определяется как четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Определены термины основания, боковые стороны трапеции. Доказана теорема о средней линии трапеции.

Таким образом, изучение четырехугольников идет по следующей схеме:

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: