Инвариантность уравнения для момента импульса

Введем еще одну прямоугольную декартову систему координат К'. началом которой служит центр масс С исследуемой системы, а координатные оси которой направлены так же, как оси исходной инерциальной системы отсчета К (рис. 5.5). Такая система отсчета называется системой центра инерции для данной системы частиц. Эта система отсчета может быть неинерциальной, если точка С движется с ускорением относительно инерциальной системы отсчета К.

Рис. 5.5. К вопросу об инвариантности уравнения для момента импульса

Пусть г с = г_с(0 есть векторная функция, описывающая движение точки С в системе отсчета К. Тогда функция г, = описывающая движение частицы с номером i относительно системы отсчета К, будет связана с функцией г[ = г/(<), описывающей движение той же частицы относительно системы отсчета К соотношением.

Умножим это равенство на массу т, частицы с номером i и просуммируем обе его части по i от 1 до N. В результате получим:

С учетом определения (5.46) центра масс системы частиц будем иметь.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Дифференцирование этого равенства по времени дает где.

— скорость i-й частицы в системе отсчета К¹.

Продифференцируем по времени обе части равенства (5.56). Получим соотношение которое связывает скорости щ и v{ частицы в системах отсчета К и К' со скоростью v_c движения точки С относительно инерциальной системы отсчета К.

Используя формулы (5.56) и (5.58), преобразуем выражение (5.49) для момента импульса системы материальных точек следующим образом:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

С учетом равенства (5.57) придем к формуле где.

— момент импульса системы частиц относительно ее центра масс.

Продифференцируем обе части равенства (5.59) по времени. Получим:

В этом выражении первое слагаемое равно нулю, так как векторы г_с и v_c коллинеарны; а второе слагаемое можно преобразовать при помощи уравнения (5.48). В результате получим:

Равенство (5.56) позволяет преобразовать сумму моментов всех внешних сил следующим образом:

есть сумма моментов всех внешних сил относительно центра инерции системы.

Подстановка выражений (5.61) и (5.62) в равенство (5.52) приводит к уравнению.

В согласии с принципом относительности уравнение (5.52) для момента импульса системы частиц инвариантно относительно преобразования Галилея, т. е. его вид не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Теперь доказано, что уравнение для момента импульса системы частиц имеет один и тот же вид не только в любой инерциальной системе отсчета, но также в невращающейся системе отсчета, начало которой совпадает с центром инерции исследуемой системы частиц.