Задания для самостоятельной работы

4.1. Функция у =/(х) задана в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Исходные данные к заданию 4.1.

Найдите приближенное значение этой функции в виде многочлена третьей степени. Вычислите значение функции прих = 2,3 их = 5,7.

4.2. Функция/ = /(х) задана в табл. 4.5.

Таблица 4.5

Исходные данные к заданию 4.2.

Найдите приближенное значение этой функции в виде многочлена второй степени. Вычислите значение функции прих = 1,6 и х =3,2.

4.3. Функцияу =/(х) задана в табл. 4.6.

Таблица 4.6

Исходные данные к заданию 4.3.

Найдите приближенное значение этой функции в виде многочлена третьей степени. Вычислите значение многочлена при х = 2; х = 3; х = 4; х = 5; х = 6. Постройте график многочлена.

• 4.4. Постройте график интерполяционного многочлена для функции у = у[х на отрезке [100; 196] с узлами интерполяции х₀ = 100, Хх = 121, х₂ = 144, х₃ = 196. Вычислите, пользуясь полученным многочленом, значение х = 71з0. Сравните полученное значение со значением /130, найденным с помощью Microsoft Excel, и вычислите абсолютную и относительную погрешности.
• 4.5. Постройте график интерполяционного многочлена для функции/ = lgx = 1пх/ In 10 на отрезке [0; 20] с узлами х₀ = 1, Xj = 10, х₂ = 20. С помощью этого многочлена вычислите lg 2; lg 7; lg 15. Оцените абсолютную и относительную погрешности вычислений.
• 4.6. Составьте с помощью Microsoft Excel таблицу значений функции/ = х⁴ на отрезке [0; 10] с шагом h = 1. Составьте таблицу разностей всех порядков до разностей, равных нулю.

В точке х = 5 найдите приближенные и точные значения производных первого и второго порядка. Оцените их абсолютную и относительную погрешности.

• 4.7. Составьте с помощью Microsoft Excel таблицу значений функции у = sin хна отрезке [0°; 60°] с шагом h = 5°. Составьте таблицу разностей от первого до четвертого порядка. В точке х = 30° найдите приближенные и точные значения производных первого и второго порядка. Оцените их абсолютную и относительную погрешности, учитывая, что 1° = л/180.
• 4.8. Функцияу =/(х) задана в табл. 4.7.

Таблица 4.7

Исходные данные к заданию 4.8.

Найдите приближенное значение этой функции в виде интерполяционной формулы Ньютона. Вычислите значение функции при х = 1,53 и х = 1,36.

4.9. Функция у =/(х) задана в табл. 4.8.

Таблица 4.8

Исходные данные к заданию 4.9.

Составьте таблицы разностей первого и второго порядка. Проверьте таблицу: всё ли в ней верно?

4.10. Функцияу — fix) задана в табл. 4.9.

Таблица 4.9

Исходные данные к заданию 4.10.

Составьте таблицы разностей до четвертого порядка включительно. Составьте интерполяционную формулу Ньютона. Вычислите значение функции прих = 54,3; х = 54,6; х = 55,2.

• 4.11. Пусть заданы значения функции у = /(х) и ее первой производной: у₀ = /(х₀);уо =/'O₀);yi =f (x₁);y[ = f'(x₁). Запишите формулу интерполяционного многочлена Эрмита на отрезке [XoJXj].
• 4.12. Пусть в точке х₀ заданы значения всех производных до п-го порядка включительно: Уо, Уо>Уо> ???> Уо • Запишите формулу интерполяционного многочлена Эрмита на отрезке [х₀; х_х].
• 4.13. Запишите формулу интерполяционного многочлена Эрмита по следующим данным: у (-1) = -1;у (0) = 0;у (1) = 1; у'(-1) = 0;у'(0) = 0;у"(1) = 0.
• 4.14. Запишите формулу интерполяционного многочлена Эрмита по следующим данным: у (0) = 0;у (1) = —1; у'(0) = 0; У'(1) = 0;у" (0) = 2.