Упражнения. 
Теория вероятностей

• 1.37. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».
• 1.38. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?
• 1.39. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре девушки; б) четыре юноши; в) три юноши и одна девушка?
• 1.40. Из 20 филиалов Сбербанка 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 филиалов. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется в черте города: а) 3 филиала;
• б) хотя бы один?
• 1.41. Из ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых три пары мужской, а две пары женской, перекладывают наудачу 2 пары обуви в другой ящик, содержащий одинаковое количество пар женской и мужской обуви. Какова вероятность того, что во втором ящике после этого окажется одинаковое количество пар мужской и женской обуви?

• 1.42. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется не менее 3 импортных телевизоров, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.
• 1.43. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры: а) различные; б) одинаковые; в) нечетные? Известно, что номер телефона не начинается с цифры ноль.
• 1.44. Для проведения соревнования 16 волейбольных команд разбиты по жребию на две подгруппы (по восемь команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.
• 1.45. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из 4 поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б) не сдаст зачет?
• 1.46. У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, из них четыре — первого, по две — второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, два — второго и одна — третьего?
• 1.47. Найти вероятность того, что из 10 книг, расположенных в случайном порядке, 3 определенные книги окажутся рядом.
• 1.48. В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выпадения 11 очков; б) выигрыша.
• 1.49. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 — высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 — высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку?
• 1.50. Два лица условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 ч и договорились, что пришедший первым ждет другого в течение 15 мин, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время, и моменты прихода независимы.
• 1.51. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка окажется внутри вписанного в него квадрата?
• 1.52. При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий. Условие приемки — наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.
• 1.53. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в первой группе получили положительную оценку 20 студентов из 30, а во второй — 15 из 25. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа, имеющая положительную оценку, написана студентом первой группы.
• 1.54. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе отделение — 0,9 и в третье — 0,8. Найти вероятность следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
• 1.55. Прибор, работающий в течение времени ?, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение времени? первого узла равна 0,9, второго — 0,95, третьего — 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени? прибор выйдет из строя.
• 1.56. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее чем в двух справочниках.
• 1.57. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,75; при втором — 0,8; при третьем — 0,9. Определить вероятность того, что будет: а) три попадания; б) хотя бы одно попадание.
• 1.58. Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6, 0,5 и 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом; а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам.
• 1.59. Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй — 0,6, третий — 0,4 и четвертый — 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания мастера.
• 1.60. Контролер ОТК, проверив качество сшитых 20 пальто, установил, что 16 из них первого сорта, а остальные — второго. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу из этой партии трех пальто одно будет второго сорта.
• 1.61. Среди 20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 3 часов по крайней мере двое нуждаются в общей чистке механизма?
• 1.62. Среди 15 лампочек 4 стандартные. Одновременно берут наудачу 2 лампочки. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них нестандартная.
• 1.63. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт — 7 штук, по 75 Вт — 13 штук. Вынуты наудачу 3 лампы. Какова вероятность того, что: а) они одинаковой мощности; б) хотя бы две из них, но 100 Вт?

• 1.64. В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что они все: а) разных цветов; б) одного цвета?
• 1.65. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В — 3,5%. Годная продукция завода составляет 95%. Найти вероятность того, что: а) среди продукции, не обладающей дефектом А, встретится дефект В; б) среди забракованной по признаку А продукции встретится дефект В.
• 1.66. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать доход владельцу с вероятностью 0,5 (для каждого пакета). Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96 875, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету акций?
• 1.67. Сколько раз нужно провести испытание, чтобы с вероятностью, не меньшей Р, можно было утверждать, что по крайней мере один раз произойдет событие, вероятность которого в каждом испытании равна р? Дать ответ при р = 0,4 и Р- 0,8704.
• 1.68. На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся три книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?
• 1.69. На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует.
• 1.70. В магазине продаются 10 телевизоров, 3 из них имеют дефекты. Какова вероятность того, что посетитель купит телевизор, если для выбора телевизора без дефектов понадобится не более грех попыток?
• 1.71. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй — 0,3, третий — 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.
• 1.72. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс — малый риск, II класс — средний, III класс — большой риск. Среди этих клиентов 50% — первого класса риска, 30% — второго и 20% — третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0,01, второго — 0,03, третьего — 0,08. Какова вероятность того, что: а) застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования; б) получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?
• 1.73. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй — 85%, третьей — 75%. Найти вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?
• 1.74. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго — 0,3.

В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.

• 1.75. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 55% изделий, а второй — остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, второй — 0,02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.
• 1.76. Вероятность изготовления изделия с браком на данном предприятии равна 0,04. Перед выпуском изделие подвергается упрощенной проверке, которая в случае бездефектного изделия пропускает его с вероятностью 0,96, а в случае изделия с дефектом — с вероятностью 0,05. Определить: а) какая часть изготовленных изделий выходит с предприятия; б) какова вероятность того, что изделие, выдержавшее упрощенную проверку, бракованное?
• 1.77. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой — 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.
• 1.78. Из п экзаменационных билетов студент А подготовил только т (т < п). В каком случае вероятность вытащить на экзамене «хороший» для него билет выше: когда он берет наудачу билет первым, или вторым,…, или к-м (к < п) по счету среди сдающих экзамен?
• 1.79. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на четвертом этаже; б) на одном и том же этаже; в) на разных этажах.
• 1.80. Батарея, состоящая из 3 орудий, ведет огонь по группе, состоящей из 5 самолетов. Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все орудия будут стрелять: а) по одной и той же цели; б) по разным целям.
• 1.81. 20 человек случайным порядком рассаживаются за столом. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом, если: а) стол круглый; б) стол прямоугольный, а 20 человек рассаживаются случайно вдоль одной из его сторон.
• 1.82. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличаются. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей?
• 1.83. Завод выпускает определенного типа изделия; каждое изделие имеет дефект с вероятностью 0,7. После изготовления изделие осматривается последовательно тремя контролерами, каждый из которых обнаруживает дефект с вероятностями 0,8; 0,85; 0,9 соответственно. В случае обнаружения дефекта изделие бракуется. Определить вероятность того, что изделие: 1) будет забраковано; 2) будет забраковано: а) вторым контролером, б) всеми контролерами.
• 1.84. Из полной колоды карг (52 карты) выбирают шесть карг; одну из них смотрят; она оказывается тузом, после чего ее смешивают с остальными выбранными картами. Найти вероятность того, что при втором извлечении карты из этих шести мы снова получим туз.
• 1.85. В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.
• 1.86. Производятся испытания прибора. При каждом испытании прибор выходит из строя с вероятностью 0,8. После первого выхода из строя прибор ремонтируется; после второго признается негодным. Найти вероятность того, что прибор окончательно выйдет из строя в точности при четвертом испытании.
• 1.87. Имеется 50 экзаменационных билетов, каждый из которых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 100 вопросов, а только на 60. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса из своего билета, или на один вопрос из своего билета и на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.
• 1.88. Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени ?) первого узла равна 0,8, второго — 0,9. Прибор испытывался в течение времени ?, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.
• 1.89. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 — подготовлены отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.
• 1.90. Л, В, С, О — некоторые события. Упростить выражение Е = (А + В)(АВ + С) + С+(А + В)(П + Е).
• 1.91. 12 студентов, среди которых Иванов и Петров, занимают очередь в библиотеку. Какова вероятность того, что между ними в образовавшейся очереди окажутся ровно 5 человек?
• 1.92. При игре в бридж между четырьмя игроками раздают 52 карты по 13 карт каждому. Найти вероятность того, что каждый игрок получит: а) по одному тузу; б) по одной карте каждого достоинства.
• 1.93. Из букв слова «СТАТИСТИКА» путем их случайной перестановки формируется новое слово. Найти вероятность того, что: а) вновь получится слово «СТАТИСТИКА»; б) получится слово, в котором согласные идут подряд.

• 1.94. Чему равна вероятность того, что дни рождения шести наугад выбранных человек придутся в точности на два месяца?
• 1.95. Из урны, содержащей три белых и пять черных шаров два человека вынули поочередно по шару (без возвращения). Какова вероятность того, что первый вынул белый шар, если второй вынул черный шар?
• 1.96. На сборочной линии завода проводится сборка четырех изделий. Вероятность бездефектной сборки изделия равна 0,8. После выпуска двух изделий линию перенастроили, что повысило вероятность бездефектной сборки изделия на 0,05. Найти вероятность того, что ровно три изделия собраны без дефектов.
• 1.97. Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,2, для второго — 0,3. Какова вероятность того, что первый сделает больше выстрелов?
• 1.98. Два руководителя планируют создать совместное предприятие, если в течение года каждому из них удается сформировать свою долю начального капитала. Вероятности этого равны соответственно 0,4 и 0,7. По истечении года выяснилось, что совместное предприятие не может быть создано. Какова вероятность того, что каждый участник сумел накопить свою долю начального капитала?
• 1.99. Есть два золотоносных района, поделенных на четыре участка каждый, причем по прогнозам известно, что вероятность выбрать золотоносный участок равна ¾ и ½ соответственно для первого и второго районов. Наугад выбран район и куплен один участок, который оказался золотоносным. Какова вероятность вторичной удачной покупки?
• 1.100. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются еще два мяча.
• 1. Найти вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.
• 2. Известно, что вторая игра проводилась новыми мячами. Найти вероятность того, что при этом условии первая игра проводилась: а) новыми мячами; б) играными мячами.
• 1.101. На рис. 1.10 представлены электрические цепи, состоящие из четырех элементов, каждый из которых имеет надежность (вероятность безотказной работы в течение некоторого периода времени) р = 0,9. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти надежность каждой цепи.

Рис. 1.10.