Принцип работы волнового твердотельного гироскопа (ВТГ). Математические модели ВТГ

Распространение упругих волн в изотропной среде

Для того, чтобы понять физику работы волнового твердотельного гироскопа, необходимо знать основы теории распространения упругих волн в изотропной среде, т. е. в среде, где волны беспрепятственно могут распространяться в любом направлении. Материал, представленный ниже, излагается на основе фундаментальной теории, изложенной в книге Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика. Теория упругости, т. 7. — М.: Наука, 2003 г., стр. 130 — 133.

Если в деформируемом теле происходит движение, то температура тела не является постоянной, а меняется как со временем, так и от точки к точке вдоль тела. Однако, как правило, передача тепла из одного участка тела в другой (посредством простой теплопроводности) происходит очень медленно. Если теплообмен практически не происходит в течение промежутков времени порядка периода колебательных движений в теле, то можно рассматривать каждый участок тела как теплоизолированный, т. е. движение будет адиабатическим. При адиабатических деформациях тензор напряжений выражается через тензор деформации.

с той лишь разницей, что вместо обычных (изотермических) значений величин модуля растяжения (Юнга) E и коэффициента Пуассона необходимо брать их адиабатические значения:

(1.1.1).

Где E — модуль растяжения (модуль Юнга);

— коэффициент Пуассона;

— коэффициент теплового расширения тока;

T — температура среды;

— теплоемкость при постоянном давлении, отнесенная к единице объема тела. волновой гироскоп изотропный Если считать это условие выполненным, то в дальнейшем под E и будут подразумеваться их адиабатические значения.

Уравнения движения упругой среды, исходя из третьего закона Ньютона, получаются в случае равенства силы внутренних напряжений произведению ускорения на массу единицы объема тела, т. е. на его плотность :

(1.1.2).

Подразумевается, что скорость v точек среды совпадает с производной от ее смещения. В кристаллах вектор u представляет собой смещение узлов решетки; скорость же v определяется в механике сплошных сред как импульс единицы массы вещества. Равенство справедливо лишь для идеальных кристаллов, где в каждом узле решетки (и только в них) находится по атому. Если же кристалл содержит дефекты (незаполненные узлы — вакансии, или же, напротив, лишние атомы в междоузлиях), то перенос массы относительно решетки (т.е. отличный от нуля импульс) может существовать и в недеформированной решетке — за счет диффузии дефектов «сквозь решетку». Отождествление подразумевает пренебрежение этими эффектами — в связи с медленностью диффузии или малой концентрацией дефектов.

Выражение (1.1.2) представляет собой общий вид уравнений движения. В частности, уравнения движения изотропной упругой среды можно написать непосредственно по аналогии с уравнением равновесия:

(1.1.3).

где g — ускорение свободного падения. Отсюда:

(1.1.4).

Поскольку все деформации предполагаются малыми, то рассматриваемые в теории упругости движения представляют собой малые упругие колебания или волны. Рассмотрим движение плоской упругой волны в неограниченной изотропной среде, т. е. волны, в которой деформация u является функцией только от одной из координат, например, от x (и от времени). Все производные по y и z уравнения (1.1.4) исчезают, тогда получаем для отдельных компонент вектора u следующие уравнения:

(1.1.5).

(уравнение для такое же, как для), где введены обозначения:

(1.1.6).

Выражение скоростей и через коэффициенты сжатия и сдвига и через коэффициенты Ламэ имеет следующий вид:

(1.1.7).

Поясним, что из себя представляют коэффициенты Ламэ. Пусть F свободная энергия тела как функция от тензора деформации. Поскольку свободная энергия является величиной скалярной, то и каждый член в разложении F тоже должен быть скаляром. Из компонент симметрического тензора можно составить два независимых скаляра второй степени, причём в качестве них можно выбрать квадрат суммы диагональных компонент и сумму квадратов всех компонент тензора. Разлагая F по степеням, мы получим с точностью до членов второго порядка выражение вида:

.

Это есть выражение для свободной энергии деформированного изотропного тела. Величины называют коэффициентами Ламэ.

Таким образом, уравнения (1.1.7) представляют собой обычные волновые уравнения в одном измерении, и входящие в них величины и являются скоростями распространения волны. Из уравнений (1.1.7) следует, что скорость распространения волны оказывается различной для компоненты, с одной стороны, и , — с другой.

Таким образом, упругая волна представляет собой по существу две независимо распространяющиеся волны. В одной из них () смещение направлено вдоль распространения самой волны; такую волну называют продольной, она распространяется со скоростью. В другой (,) — смещение направлено в плоскости, перпендикулярной направлению распространения; такую волну называют поперечной, она распространяется со скоростью. Как видно из (1.1.7), скорость всегда больше скорости :

(1.1.8).

При фактическом изменении в пределах от 0 до имеет место и более сильное неравенство:

(1.1.9).

Скорости и называют продольной и поперечной скоростями звука.

Мы знаем, что изменение объема при деформации определяется суммой диагональных членов тензора деформации, т. е. величиной. В поперечной волне имеются только компоненты, , и поскольку они не зависят ни от y, ни от z, для такой волны. Таким образом, поперечные волны не связаны с изменением объема отдельных участков тела. Напротив, для продольных волн; эти волны сопровождаются сжатиями и расширениями в теле.

Разделение волны на две независимо распространяющиеся с разными скоростями части можно произвести и в общем случае произвольной (не плоской) упругой волны в неограниченном пространстве.

Перепишем уравнение (1.1.4), введя в него скорости и :

(1.1.10).

Представим вектор u в виде суммы двух частей:

(1.1.11).

из которых одна удовлетворяет условию:

(1.1.12).

Другая же — условию:

(1.1.13).

Из векторного анализа известно, что такое представление всегда возможно (это есть представление вектора в виде суммы ротора некоторого вектора и градиента некоторого скаляра).

При подстановке в (1.1.10) получаем:

(1.1.14).

Применим к обеим частям этого уравнения операцию div. Поскольку мы получим.

(1.1.15).

Или.

. (1.1.16).

С другой стороны, rot стоящего в скобках выражения тоже равен нулю в силу (1.1.13). Но если rot и div некоторого вектора исчезают во всем пространстве, то этот вектор тождественно равен нулю. Таким образом:

(1.1.17).

Аналогично применяя к уравнению (1.1.14) операцию rot и помня, что, и что rot всякого градиента равен нулю, находим.

(1.1.18).

Поскольку div стоящего в скобках выражения тоже равна нулю, мы приходим опять к уравнению того же вида, как и (1.1.17):

(1.1.19).

Уравнения (1.1.17) и (1.1.19) представляют собой обычные волновые уравнения (в трех измерениях). Каждое из них соответствует распространению упругой волны со скоростью соответственно или. Одна из этих волн) не связана с изменением объема (в силу), а другая сопровождается объемными сжатиями и расширениями.

В монохроматической упругой волне вектор смещения имеет вид.

(1.1.20).

где — функция координат. Эта функция удовлетворяет уравнению.

(1.1.21).

получающемуся при подстановке (13) в (6). Продольная и поперечная части монохроматической волны удовлетворяют уравнениям.

(1.1.22).

где , — волновые векторы продольной и поперечной волн.