Оценка генеральной средней по выборочной средней. 
Устойчивость выборочных средних

Пусть из генеральной совокупности (в результате независимых наблюдений над количественным признаком X) извлечена повторная выборка объема п со значениями признака x_v х₂,…, х_п. Не уменьшая общности рассуждений, будем считать эти значения признака различными. Пусть генеральная средняя х_г неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки. В качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю.

Убедимся, что х_в — несмещенная оценка, т. е. покажем, что математическое ожидание этой оценки равно х_г. Будем рассматривать х_в как случайную величину и x_v х₂,…, х_п как независимые, одинаково распределенные случайные величины Х_{9Х₂,…, Х_п. Поскольку эти величины одинаково распределены, то они имеют одинаковые числовые характеристики, в частности одинаковое математическое ожидание, которое обозначим через а. Так как математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин (см. гл. 8, § 9), то.

Приняв во внимание, что каждая из величин X_v Х₂,…, Х_п имеет то же распределение, что и генеральная совокупность (которую мы также рассматриваем как случайную величину), заключаем, что и числовые характеристики этих величин и генеральной совокупности одинаковы. В частности, математическое ожидание а каждой из величин равно математическому ожиданию признака X генеральной совокупности, т. е.

Заменив в формуле (*) математическое ожидание а на х_г, окончательно получим.

Тем самым доказано, что выборочная средняя есть несмещенная оценка генеральной средней.

Легко показать, что выборочная средняя является и состоятельной оценкой генеральной средней. Действительно, допуская, что случайные величины X_v X_v…, Х_п имеют ограниченные дисперсии, мы вправе применить к этим величинам теорему Чебышева (частный случай), в силу которой при увеличении п среднее арифметическое рассматриваемых величин, т. е. Х_в, стремится по вероятности к математическому ожиданию а каждой из величин, или, что-то же, к генеральной средней х_г (так как х_г = а).

Итак, при увеличении объема выборки п выборочная средняя стремится, но вероятности к генеральной средней, а это и означает, что выборочная средняя есть состоятельная оценка генеральной средней. Из сказанного следует также, что если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит свойство устойчивости выборочных средних.

Заметим, что если дисперсии двух одинаково распределенных совокупностей равны между собой, то близость выборочных средних к генеральным не зависит от отношения объема выборки к объему генеральной совокупности. Она зависит от объема выборки: чем объем выборки больше, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной. Например, если из одной совокупности отобран 1% объектов, а из другой совокупности отобрано 4% объектов, причем объем первой выборки оказался большим, чем второй, то первая выборочная средняя будет меньше отличаться от соответствующей генеральной средней, чем вторая.

Замечани е. Мы предполагали выборку повторной. Однако полученные выводы применимы и для беспов горной выборки, если ее объем значительно меньше объема генеральной совокупности. Это положение часто используется на практике.