Введение. 
Основные свойства числовых рядов

Понятие бесконечных сумм фактически было известно ученым Древней Греции (Евдокс, Евклид, Архимед). Нахождение бесконечных сумм являлось составной частью так называемого метода исчерпывания, широко используемого древнегреческими учеными для нахождения площадей фигур, объемов тел, длин кривых и т. д. Так, например, Архимед для вычисления площади параболического сегмента (т.е. фигуры, ограниченной прямой и параболой) нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем ¼.

Ряд, как самостоятельное понятие, математики стали использовать в XVII в. И. Ньютон и Г. Лейбниц применяли ряды для решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Теория рядов в XVIII—XIX вв. развивалась в работах Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа и др. Строгая теория рядов была создана в XIX в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, П. Дирихле, Н. Абеля, К. Вейерштрасса, Б. Римана и др.

В школьном курсе алгебры и начала анализа обычно рассматривают суммы состоящие из конечного числа слагаемых. Исключением является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Само по себе суммирование рядов, последовательностей, интегралов — это вычисление соответственно сумм рядов, пределов последовательностей, значений интегралов. Термин «суммирование обозначает» n само определение суммы ряда (предела последовательности, значения интеграла), когда в обычном определении эти значения не существуют т. е. ряд (последовательность, интеграл) расходится.

Расходящиеся ряды часто встречаются на практике, они могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функции в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов и т. д. Расходящиеся ряды и интегралы встречаются например в теории электро-магнитного поля и других разделах соверменной физики. Во многих случаях для расходящихся рядов можно найти сумму в обобщенном смысле, обладающие некоторыми свойствами обычной суммы сходящегося ряда.

Цель данной работы: дать понятие бесконечных сумм, история их исследования с древних времен до сегодня. рассмотреть определение числового ряда и сходимости. Основные свойства числовых рядов. Достаточные условия сходимости числового ряда: признак сравнения, Даламбера, интегральный Коши.

Актуальность данной работы: обусловлена тем, что раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов. Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас. Таким образом, представляется актуальным изучить числовые ряды, их основные понятия и особенности сходимости ряда.

Задачи:

• 1. проанализировать научную литературу по теме «Суммирование и ряды»;
• 2. познакомиться с теорией рядов и применением их для решения различного типа задач;
• 3. подобрать теоретический материал, который может быть использован при изучении темы

Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.