Законы Кеплера. 
Космические скорости

Еще в глубокой древности было замечено, что, в отличие от звезд, которые неизменно сохраняют свое взаимное расположение в пространстве в течение столетий, планеты описывают среди звезд сложнейшие траектории. Для объяснения петлеобразного движения планет древнегреческий ученый К. Пталомей (II в. н. э.), считая Землю расположенной в центре Вселенной, предположил, что каждая из планет движется по малому кругу (эпициклу), центр которого равномерно движется по большому кругу, в центре которого находится Земля. Эта концепция получила название пталомеевой или геоцентрической системой мира.

В начале XVI века польским астрономом Н. Коперником обоснована гелиоцентрическая система, согласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли и других планет вокруг Солнца и суточным вращением Земли (рис. 7.9).

Рис. 7.9.

Теория наблюдения Коперника воспринималась как занимательная фантазия. В XVI в. это утверждение рассматривалось церковью как ересь. Известно, что Дж. Бруно, открыто выступивший в поддержку гелиоцентрической системы Коперника, был осужден инквизицией и сожжен на костре.

Однако к началу XVII столетия большинство ученых убедились в справедливости гелиоцентрической системы мира. Иоганн Кеплер, обработав результаты многочисленных наблюдений, проведенных Тихо Браге (которого называют «человеком, измерившим небо»), получил законы движения планет вокруг Солнца.

Закон всемирного тяготения был открыт Ньютоном на основе трех законов Кеплера.

Первый закон Кеплера. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце (рис. 7.10).

Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты описывает в равные времена равные площади (рис. 7.11).

Третий закон Кеплера. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Рис. 7.10 В В В Рис. 7.11

Почти все планеты (кроме Плутона, который по современным представлениям уже не считается планетой) движутся в одной плоскости по орбитам, близким к круговым. Для круговых орбит первый и второй законы Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что Т²~Я³ (Т- период обращения; R — радиус орбиты).

Ньютон решил обратную задачу механики и из законов движения планет получил выражение для гравитационной силы:

Как нам уже известно, гравитационные силы являются консервативными. При перемещении тела в гравитационном поле консервативных сил по замкнутой траектории работа равна нулю. Свойство консервативности гравитационных сил позволило нам ввести понятие потенциальной энергии.

Потенциальная энергия тела массой т, расположенного на расстоянии г от большого тела массой М, есть (7.3.5).

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии г от центра тяготения и имеет некоторую скорость и, его полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий и, в соответствии с законом сохранения механической энергии, остается неизменной:

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела.

При W < О тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние г₀ > г_шх. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (спутники планет, планеты Солнечной системы, кометы) (рис. 7.12).

Рис. 7.12.

Период обращения небесного тела по эллиптической орбите равен периоду обращения по круговой орбите радиусом R, где R — большая полуось орбиты.

При W = 0 тело движется по параболической траектории. Скорость тела на бесконечности равна нулю.

При W > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Первой космической скоростью называется скорость движения тела по круговой орбите вблизи поверхности Земли (рис. 7.12). Для гравитационной силы, играющей роль центростремительной силы, можно записать.

Отсюда.

Второй космической скоростью называется скорость движения тела по параболической траектории. Она равна минимальной скорости, которую нужно сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно, преодолев земное притяжение, стало искусственным спутником Солнца (искусственная планета). Для этого необходимо, чтобы кинетическая энергия тела была не меньше работы по преодолению тяготения Земли:

Третья космическая скорость — скорость движения, при которой тело может навсегда покинуть пределы Солнечной системы, преодолев, кроме сил притяжения к Земле, также и притяжение к Солнцу.

Чтобы преодолеть силу притяжения Солнца, телу, находящемуся на Земле, надо придать скорость ц₃. Эта скорость определяется аналогично о₂, т. е. из равенства нулю суммы кинетической энергии тела, запускаемого с Земли со скоростью о₃, и его потенциальной энергии в поле Солнца (на орбите Земли), выполняющегося при удалении в бесконечность.

где R₀ — радиус земной орбиты относительно Солнца; М_с — масса Солнца. Отсюда:

Значение и, зависит от направления запуска.

При запуске в направлении орбитального движения Земли эта скорость минимальна и составляет около 16,7 км/с. В этом случае скорость тела относительно Солнца складывается из скорости тела относительно Земли и скорости, с которой Земля движется вокруг Солнца.

При запуске в направлении, противоположном направлению движения Земли, скорость и₃ достигает значений около 73 км/с.

Сообщение телам таких больших начальных скоростей является сложной технической задачей. Теоретическую разработку таких задач начал русский ученый К. Э. Циолковский.

ПО.