Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой

Стационарной линейной динамической системой называют устройство, которое описывается л и и е й н ы м дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами вида.

гдеX (t) — входная стационарная случайная функция (воздействие, возмущение), Y (t) — выходная случайная функция (реакция, отклик).

Если динамическая система устойчива, то при достаточно больших значениях t, т. е. по окончании переходного процесса, функцию Y (t) можно считать стационарной. Подчеркнем, что при дальнейшем изложении предполагается, что X (t) и Y (t) — стационарные случайные функции.

Поставим перед собой задачу найти характеристики выходной функции по известным характеристикам входной функции.

Найдем математическое ожидание т_;/, зная т_х, для чего приравняем математические ожидания левой и правой частей уравнения (*). Учитывая, что X (t) и Y (t) — стационарные случайные функции, а значит, математические ожидания производных этих функций равны нулю, получим.

Отсюда искомое математическое ожидание.

Пример 1. Па вход линейной динамической системы, описываемой уравнением

подается стационарная случайная функция X (t) с математическим ожиданием т_х = 10. Найти математическое ожидание случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса).

Решение. Используя формулу (**), получим

Введем понятия передаточной функции и частотной характеристики, которые понадобятся далее. Предварительно запишем уравнение (*) в операторной форме, обозначив оператор диффе;

d d² _{2 n}

ренцирования — через р, —- — через р¹ и т. д. В итоге уравне- dt dr

ние (?)примет вид.

«Решим» это уравнение относительно Y (t)

Из соотношения (****) следует, что выходная и входная функции связаны равенством

Частотной характеристикой линейной динамической системы называют функцию, которая получается заменой аргумента/? в передаточной функции на аргумент т (со — действительное число):

Доказано, что спектральные плотности выходной и входной функций связаны равенством.

Отсюда заключаем: для того чтобы найти спектральную плотность выходной функции, надо умножить спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики.

Зная же спектральную плотность выходной функции, можно найти ее корреляционную функцию [§ 3, формула (**)]:

а следовательно, и дисперсию:

Пример 2. На вход линейной стационарной динамичной системы, описываемой уравнением

подается стационарная случайная функция X (t) с корреляционной функцией k_f(x) = 6е~^2|т|. Найти дисперсию случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме.

Решение 1. Найдем спектральную плотность выходной функции. Используя решение примера 2 (см. § 4) при D = 6 и, а = 2, получим.

2. Найдем передаточную функцию, для чего напишем заданное уравнение в операторной форме:

Отсюда

Следовательно, передаточная функция.

3. Найдем частотную характеристику, для чего заменим в передаточной функции аргумент р на гео:

4. Найдем спектральную плотность выходной функции, для чего умножим спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики:

5. Найдем искомую дисперсию:

Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

Выполнив интегрирование, получим искомую дисперсию Задачи

1. Найти дисперсию стационарной случайной функции X (I), зная ее.

_ч ⁶

спектральную плотность s_v(co) =-—.

л (1 + со²).

Отв. D =6.

X

2. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции Х (р), зная ее корреляционную функцию.

", _ч 2sin² (Зш/2).

Отв. s (со) =-т-.

Зли)²

3. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X (t), зная ее корреляционную функцию k_x(x) = 5e" ²'^TL.

Отв. .v_r(o)) = 10/(л (4 + со²)).

• 4. Задана спектральная плотность s_x(w) = 6/(л (1 + со²)) стационарной случайной функции X (t). Найти нормированную спектральную плотность.
• 0тв- ^{SX норм («) =!/(л(! + «2)>-}
• 5. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции X (t), зная ее спектральную плотность

2s

Отв. k_x(т) = —-sin U)_qt (2cos2o)_qt -1).

6. Спектральная плотность стационарной случайной функции X (t) постоянна в диапазоне частот (ю_г со₂), а вне его равна нулю:

Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию; в) нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t).

ft",) M.) —^{s (5inlv}-^sinM'^T)_;

т.

_W1, ч ч /ч sina)₂T-sinco, T.

6)?"_r = s (co₂-co_t); в) р (т) = —.

т (со₂ — со,).

7. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением.

подается стационарная случайная функция X (t) с математическим ожиданием т_х = 6 и корреляционной функцией k_x.(x) = 5е~²^. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме.

Отв. т =8D =22/3.

8. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением.

подастся стационарная случайная функция X (t) с математическим ожиданием т_х=4 и корреляционной функцией k_x(т) = е~^. Найти математическое ожидание и спектральную плотность случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме.

2 1 1.

Отв. т, =—; s (оо) =——т-=-.

" з' ^уК ' л25со² +(6-ю²)²

9*. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением

подается стационарная случайная функция X (t) с известной корреляционной функцией k_x(x) = 2е~ ^т'(1+ |т|). Найти спектральную плотность случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме.

Указание. Разложить на линейные множители знаменатель передаточной функции: р³ + 6р² + 11/? + 6 = (/?+1)(/? + 2)(/? + 3).

Отв. s_(/(со) = 4(49со⁶ + 25)/(л (ог + 1)³(со² + 4)(со² + 9)).

10. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y' (t) + Y (t) = X (t), поступает случайная функция X (t) с постоянной спектральной плотностью s₀ (стационарный белый шум). Найти дисперсию случайной функции К (?) на выходе системы в установившемся режиме.

Отв. D = s₀n.

.