Пример ЗПР в условиях вероятностной неопределенности

В качестве примера задачи принятия решений в условиях вероятностной неопределенности рассмотрим задачу построения оптимального инвестиционного портфеля.

Пусть имеется п ценных бумаг, характеризуемых своими доходностями. Доходность 1-й ценной бумаги при вложении в него единичного капитала описывается случайной величиной г = 1,2, …, п. Доходности отдельных ценных бумаг в общем случае не являются независимыми случайными величинами. Таким образом, имеется случайный вектор = (с, …, характеристики которого определяются состоянием финансового рынка. Каждая конкретная его реализация, т. е. получаемый набор доходностей, и есть реализация состояния окружающей среды.

В данные бумаги инвестируется единица капитала так, что у, — его доля, инвестируемая в г-й вид ценной бумаги. Инвестиционным портфелем у называется набор чисел у_{, у₂,… у", удовлетворяющий условию у_х+ у₂ +… + у" = 1. Заметим, что некоторые г/, могут быть нулевыми, что означает, что капитал в данную ценную бумагу не инвестируется, или отрицательными, что означает продажу ценной бумаги без покрытия.

Задача принятия решений в данном случае состоит в том, чтобы построить инвестиционный портфель, т. е. определить, каким образом следует распределить единицу капитала между ценными бумагами. Альтернативами при этом будут конкретные значения портфеля, т. е. конкретные наборы вкладываемых капиталов в имеющиеся ценные бумаги.

Результатом принятия решения по формированию инвестиционного портфеля будет его доходность — случайная величина.

Для решения задачи построения оптимального инвестиционного портфеля необходимо построить решающее правило, определяющее, при каком наборе долей капитала г/_р г/₂,у_п, таком, что г/, + у₂ + … у_п = 1, результат (доходность портфеля) будет наилучшим. Обозначим I) = {^: г/₁ + г/₉ + … + у_п = 1}.

Рассмотрим несколько подходов к решению данной задачи. Сначала рассмотрим экстремальную оптимизацию по полезности.

По определению полезностью доходности портфеля является число.

где и — некоторая неубывающая функция. Положим, что и (() = Ь для всех вещественных чисел Ь е 9?. Тогда полезностью будет математическое ожидание доходности портфеля.

Наиболее предпочтительным будет такой набор долей капитала у * = = {г/,*, у.*,…, у*}, при котором среднее значение доходности портфеля будет максимальным.

Заметим, что по свойствам математического ожидания Е (У) = у₁-Е (%_]) + + у₂ Е{Ъ₎₀) + … + у_п-Е (^_п). Таким образом, для построения оптимального инвестиционного портфеля при использовании данного подхода не нужно знать законы распределения доходностей входящих в портфель ценных бумаг. Достаточно оценить только их средние значения. Однако такой подход обладает рядом недостатков, так как оценивает только средние значения и не учитывает возможные отклонения доходностей от них, хотя такие отклонения могут быть достаточно существенны.

Для определения полезности доходности портфеля можно выбирать и другие виды функции и> например, и (() = 1 — ехр (-я Т)^[1], где а > 0 — некоторый заданный параметр. Тогда наиболее предпочтительным будет такой портфель у* = (г/*, г/₂*,…, у*), что.

Недостатком данного подхода является сложность его применения. В частности, необходимо определить точный закон распределения вектора = (^, ^₂,…, ?_я) доходностей ценных бумаг.

Рассмотрим другой способ построения решающего правила решения задачи нахождения оптимального инвестиционного портфеля — экстремальную оптимизацию по мере риска.

Наиболее распространенной мерой риска является дисперсия случайной величины.

Тогда наиболее предпочтительным будет такой портфель г/* = (у*, г/₂,…, у*), при котором среднее отклонение доходности инвестиционного портфеля от своего среднего значения будет минимальным:

Для нахождения дисперсии доходности портфеля необходимо знать дисперсии доходностей входящих в него ценных бумаг, а также их попарные ковариации, т. е. Е{(— ?(?•))} для всех / е {1, 2,…, п}. Сами законы распределения доходностей ценных бумаг знать не обязательно. Это упрощает решение данной задачи.

В целом разные подходы к решению могут давать разные и даже противоположные решения. Выбор конкретного способа решения остается за лицом, принимающим решение^[2].

• [1] Выбор именно такой функции полезности обусловлен тем, что для нес функция неприятияриска является константой. Болес подробно с этим можно познакомиться, например, в работе: PrattJ. V. Risk Aversion in the Small and in the Large // Econometrica. 1964. V. 32. P. 122—136.
• [2] Болес подробно с задачей построения оптимального инвестиционного портфеля можнопознакомиться, например, в кн.: Новоселова А. А. Математическое моделирование финансовых рисков. Теория измерения. Новосибирск, 2001.