Тождество Роя. 
Микроэкономика

Тождество Роя показывает связь между прямой и двойственной задачами потребительского выбора. Рассмотрим точку оптимума потребителя при условии, что бюджетное ограничение равняется функции расходов, а максимальная полезность в прямой задаче представляет собой лимитирующую границу в двойственной задаче.

Тогда можно записать косвенную функцию полезности ^V

Найдем полный дифференциал данной функции.

Так как мы имеем дело с точкой оптимума, т. е. с максимальным значением полезности, в том числе и с максимальными значением косвенной функции полезности, то полный дифференциал будет равен нулю: dV = 0. Откуда получаем.

или.

Это и есть тождество Роя.

Тождество Роя показывает, что при изменении цены товара изменяются расходы потребителя и, следовательно, варьирует уровень полезности товарного набора, который может приобрести индивид. Например, при росте цены товара увеличиваются расходы потребителя и падает уровень полезности товарного набора, который в оптимуме может купить индивид.

Анализ тождества Роя показывает, что.

представляет собой Маршаллианскую функцию спроса. Величина —— = cV

=-> 0 показывает, как меняются расходы на товар X на единицу полез;

дР_х

ности при увеличении цены этого товара. Как мы знаем из леммы Шепарда, эти расходы всегда возрастают. Следовательно, знак Маршаллианского спроса зависит не от числителя дроби, а от ее знаменателя, т. е. опреде;

8U _.

ляется знаком выражения —. Это выражение характеризует изменение.

д1

полезности товара для потребителя при изменении его дохода. Если товар

dU

представляет собой малоценное благо, то — < 0 и Маршаллианский спрос.

будет иметь положительный наклон. Так возникают товары Гиффена. Если же товар является нормальным в глазах потребителя, то — > 0 и знак Маршаллианского спроса будет отрицательным, товар подчиняется закону спроса.