Комплексные числа и основные операции над ними

Символический метод комплексных амплитуд (комплексный метод, иногда просто — символический метод) основан на представлении гармонических функций времени с помощью комплексных чисел или, точнее, на преобразовании исходных функций из временной области (области вещественного переменного t) в частотную (область мнимого аргумента усо).

Напомним, что комплексным числом А называется выражение вида.

где А', А"  — действительные числа, называемые, соответственно, вещественной и мнимой составляющими комплексного числа; j = V-T — мнимая единица. Вещественную и мнимую составляющие комплексного числа иногда обозначают так: А = Re[/1], А' = 1т[Л]. Выражение (2.15) представляет собою алгебраическую форму записи комплексного числа Л.

Комплексное число А изображается на комплексной плоскости в виде точки А, абсцисса которой равна А, а ордината — А" (рис. 2.3, а). Ось абсцисс, на которой откладывается вещественная часть комплексного числа, называется действительной (Re), а ось ординат, на которой откладывается мнимая часть, — мнимой (Im) осями.

Рис. 2.3. К определению понятия комплексного числа.

Каждой точке А комплексной плоскости и, следовательно, каждому комплексному числу А можно поставить в соответствие вектор А, проведенный из начала координат в точку А (рис. 2.3, б). Длину вектора, изображающего комплексное число, называют модулем этого числа:

Угол а, образуемый вектором А с положительным направлением вещественной оси, называют аргументом комплексного числа:

Положительное направление отсчета, а — против часовой стрелки. Аргумент комплексного числа может иметь бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на 2лп, где п — целое число. Главное значение аргумента заключено в промежуткел < а < л.

Как очевидно из рис. 2.3, б, вещественная А' и мнимая А" части комплексного числа А представляют собою проекции вектора А на действительную и мнимую оси:

Подставляя соотношения (2.18) в выражение (2.15), можно перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической:

Используя формулу Эйлера.

где е — основание натурального логарифма, получаем показательную форму записи комплексного числа:

Комплексные числа А = А +jA' = А е**^Л и В = В' + jB" = = Ве^)<�Хв считаются равными, если попарно равны их действительные и мнимые части: А' = В А" = В" (или, что-то же самое, равны их модули А = В, а аргументы отличаются на 2пп (п — целое число): — а# = ±2пп).

*.

Два комплексных числа А = А + jA" и А = A' -jA" называются сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком. Точки на комплексной плоскости, изображающие сопряженные комплексные числа, симметричны относительно действительной оси (рис. 2.3, в). Модули сопряженных чисел равны, а главные значения их аргументов отличаются только знаком: А = | А |е^;а, А = Ае~'^а. Понятий «больше» и «меньше» для комплексных чисел не существует.

Арифметические операции над комплексными числами выполняются так же, как над обыкновенными двучленами, имея в виду, что7² = -1. Операции сложения и вычитания удобнее производить, используя алгебраическую форму записи:

Очевидно, что сумма двух сопряженных комплексных чисел А = А' + jA" и А = A' - jA" представляет собой действительное число:

Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел удобнее производить в показательной форме:

Из выражений (2.23) следует, что при умножении вектора А = Аe^ja на действительное число т получается новый вектор, модуль которого в т раз больше модуля вектора А:

При умножении вектора А = |Л|е⁷«' на вектор /чЧ модуль которого равен единице, образуется новый вектор, повернутый относительно вектора А на угол >_в против часовой стрелки:

Из выражения (2.24) и формулы Эйлера следует также, что умножение вектора Л = |Л|е^;а'¹ па вектор

равносильно повороту вектора А на угол л/2 против часовой стрелки:

а умножение вектора А на вектор

приводит к повороту вектора Л на угол п/2 по часовой стрелке:

Наконец, умножение вектора Л на (-1) = cos (±rc) + j sin (±jt) равносильно изменению аргумента Л на ±л: -1А = Ле^±ул = = Ае^Лал^±к

Умножение и деление комплексных чисел можно производить также и в алгебраической форме:

причем при выполнении деления учитывается, что произведение двух комплексно-сопряженных чисел В и В есть действительное число.

Суммирование комплексных чисел во многих случаях бывает удобно производить графически, используя правила действий над векторами. Вектор S, равный сумме векторов А, А₂, …, Д', может быть построен следующим образом: из начала координат строят вектор Л₁₍ из его конца, как из начата координат, строят вектор А₂, из конца вектора А₂ строят вектор А₂ и т. д. Вектор, замыкающий ломаную линию, образованную из слагаемых векторов, представляет их сумму S. Так, вектор Д равный сумме векторов Л, В и С (рис. 2.4, а, б), равен замыкающей ОС = D ломаной линии ОАВС, построенной из векторов А = ОА, В = АВ, С = ВС. Вектор В, равный сумме двух векторов A_t и А₂, представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на сторонах Л) и Л₂ (рис. 2.4, в). Разность D двух векторов Л) и Л₂

может быть найдена как сумма векторов Л ₍ и (-Л₂) (рис. 2.4, г).

Рис. 2.4. Графическое определение суммы трех векторов (а, б), а также суммы (в) и разности (г) двух векторов.