Метод зеркальных изображений

Для расчета электростатических полей, ограниченных какой-либо проводящей поверхностью правильной формы или в которых есть геометрически правильной формы граница между двумя диэлектриками, широко применяют метод зеркальных изображений.

Это искусственный прием расчета, в котором кроме заданных зарядов вводят еще дополнительные, значения и местоположение которых выбирают так, чтобы удовлетворить граничным условиям в поле. Территориально заряды помещают там, где находятся зеркальные (в геометрическом смысле) отображения заданных зарядов. Метод зеркальных изображений применяют не только для расчета электростатических полей, но и для расчета электрических полей в проводящей среде и магнитных полей. Обоснованием метода и правильности даваемого им решения является теорема единственности.

Рассмотрим два примера на метод зеркальных изображений.

Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости.

Заряженная ось (т — заряд на единицу длины) расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды (рис. 19.16, а). Проводящей средой может быть какая-либо металличес;

Рис. 19 16.

кая стенка или, например, земля. Требуется определить характер поля в верхней полуплоскости (диэлектрике).

В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты х. Поле в диэлектрике создается не только заряженной осью, но и зарядами, выступившими на поверхности проводящего тела вследствие электростатической индукции. Несмотря на то, что распределение плотности зарядов на поверхности проводящей среды неизвестно, данную задачу сравнительно легко можно решить по методу зеркальных изображений.

Поместим в точке т фиктивный заряд обратного знака (-т) по отношению к заданному заряду Расстояние И от точки т до плоскости раздела сред такое же, как и расстояние от действительного заряда до плоскости раздела. В этом смысле осуществлено зеркальное изображение. В данной задаче фиктивный заряд численно равен заданному, но имеет обратный знак. Так будет не всегда, т. е. не во всех задачах искусственно введенный заряд будет численно равен заданному и иметь противоположный знак.

Убедимся, что напряженность поля от двух зарядов (т ит) в любой точке границы раздела имеет только нормальную к границе составляющую и не имеет тангенциальной составляющей (см. построения на рис. 19.16, а). Действительно, тангенциальные составляющие от обоих зарядов имеют противоположные направления и в сумме дают нуль в любой точке поверхности.

Можно убедиться в том, что потенциал от каждой из осей, определяемый формулой (19.38), удовлетворяет уравнению Лапласа [формуле (19.30)]. Для проверки следует подставить правую часть формулы (19.38) в формулу (19.30) и убедиться в том, что V² <�р будет равно нулю:

Так как потенциал от каждой из осей удовлетворяет уравнению Лапласа и в то же время выполнено граничное условие, то на основании теоремы единственности полученное решение является истинным.

Картина поля заряженной оси, расположенной параллельно проводящей плоскости, изображена на рис. 19.16, б. Силовые линии перпендикулярны поверхности провода и поверхности проводящей плоскости. Знаки минус на поверхности проводящей плоскости означают отрицательные заряды, выявившиеся на ее поверхности в результате электростатической индукции.

Многократные зеркальные отражения. Если заряд т находится в диэлектрике внутри двугранного угла 13 = х/л (л — целое число), а границами угла являются проводящие стенки (на рис 19.16, в п = 3), то поле внутри двугранного угла определится как поле от знакочередующихся 2 п зарядов ±т, расположенных зеркально по отношению друг к другу. На каждой стороне двугранного угла тангенциальная составляющая напряженности поля равна нулю.