Общие вопросы синтеза электрических цепей

Задача синтеза и ее особенности. Проектирование электротехнических и электронных устройств можно представить как последовательный процесс решения задач синтеза и анализа электрических цепей, в результате которого создается оптимальное с точки зрения заданных требований устройство. В общей постановке задача синтеза состоит в отыскании оптимальных структуры и параметров схемы электрической цепи. Поэтому различают задачу структурного синтеза и задачу параметрического синтеза. Анализ электрической цени используется для оценки промежуточных вариантов синтеза. Таким образом, в процессе проектирования синтез и анализ выступают в диалектическом единстве.

Задача синтеза линейных электрических цепей состоит в отыскании цени, которая удовлетворяет заданным частотным или временным характеристикам. К их числу обычно относят операторные характеристики двухполюсников Z (s) = 1 /Y (s), а также передаточную функцию H (s), амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) |#(/со)|, квадрат АЧХ |#(/со)|², фазочастотную характеристику (ФЧХ) arg#(/co), характеристику затухания а (со), импульсную h (t) или переходную g (t) характеристики четырехполюсников.

К особенностям задачи синтеза электрических цепей следует отнести:

• • наличие проблемы физической реализуемости цепи с заданными характеристиками. Примером может служить задача синтеза фильтров с идеальными АЧХ, представляющими собой разрывные функции, которые невозможно реализовать электрическими цепями. Эта проблема решается путем аппроксимации идеальных АЧХ непрерывными функциями. При анализе цепей проблемы физической реализуемости не существует, поскольку структура и параметры цепи являются исходными данными;
• • неоднозначность решения. Если задача анализа при заданных исходных данных имеет однозначное решение, то требуемой характеристикой может обладать множество цепей с различными топологией и параметрами. В качестве примера на рис. 6.1.1 приведены RC- или RL-цепи, которые

Рис. 6.1.1. RC- и RL-цепи с одинаковыми передаточными функциями:

а — фильтр нижних частот; б — фильтр верхних частот при т = RC = L/R имеют идентичные операторные передаточные функции H (s), и следовательно, обладают одинаковыми свойствами. Кроме того, постоянная времени т, определяющая форму АЧХ и ФЧХ, может иметь одно и то же значение при бесконечном множестве наборов значений R и С либо R и L. Для устранения неоднозначности вводят ограничения, например отсутствие в элементном базисе индуктивностей, отбор цепей по критерию устойчивости к разбросу параметров и др.

Наиболее часто синтез осуществляют по операторным передаточным функциям H (s)> к которым также отнесены функции Z (s) двухполюсников, или входные функции. Такое обстоятельство обусловлено рядом причин. Прежде всего, для них разработаны критерии, позволяющие по известному выражению H (s) судить о физической реализуемости цепи. Кроме того, как показано ниже, между операторной функцией, частотными и временными характеристиками существует связь. Поэтому, независимо от того, в какой области (частотной или временной) сформулирована задача синтеза, после аппроксимации исходной характеристики обычно переходят к передаточной функции цепи H (s). И наконец, в большинстве практических приложений исходными данными служат непосредственно H (s) или частотные характеристики цепи. Многообразие свойств функции H (s) явилось следствием большого числа задач синтеза различных фильтров, амплитудных и фазовых корректоров, линий задержки аналоговых сигналов и других устройств.

Наиболее актуальной в настоящее время является задача синтеза четырехполюсников, а именно активных /?С-фильтров. Синтез двухполюсников, который широко и обстоятельно освещен в учебной литературе, рассматривается в п. 6.3 как составная часть задачи синтеза четырехполюсников лестничной структуры. Достаточно большое внимание, которое уделено синтезу электрических (а по сути дела, аналоговых) цепей, обусловлено тем, что они, как будет показано в гл. 7, служат прототипами при синтезе дискретных цепей.

Основные характеристики линейных цепей и их взаимосвязь. Временные и частотные характеристики цепей. Прежде чем приступить к изучению базовых положений синтеза электрических цепей, рассмотрим их основные характеристики и найдем взаимосвязь между ними. Характеристика, или функция, цепи позволяет по известному воздействию определить ее отклик. Поэтому по известной характеристике можно судить о свойствах цени, что весьма важно для синтеза. Тип (и название) характеристики обычно определяется формой тестового сигнала (воздействия). При тестировании цепи с помощью напряжения в виде ступенчатой функции определяют переходную характеристику g (t). Если тестовым сигналом является единичный или 5-импульс, то получают импульсную характеристику h (t). Между ними существует следующая связь:

Использование в качестве воздействия гармонических напряжений с разными частотами со позволяет получить зависимость коэффициента передачи по напряжению от частоты, или частотную характеристику цепи Я (/со) в комплексной форме. Обобщение частотной характеристики на комплексную частоту s = а + усо соответствует операторной передаточной функции H (s).

Поскольку в линейных цепях выполняется принцип суперпозиции, с помощью приведенных выше характеристик.

• (функций) можно определить отклик цепи на воздействующее напряжение произвольной формы, например:
• • выходное напряжение линейной цепи представляет собой интеграл Дюамеля или свертку входного сигнала и импульсной характеристики:

• операторные и комплексные амплитуды выходного и входного напряжений связаны с помощью коэффициента передачи следующими соотношениями:

Операторная характеристика. С точки зрения синтеза особого внимания заслуживает операторная передаточная функция H (s), которая является обобщенной характеристикой цепи, так как от нее легко перейти к частотным характеристикам //(/со) (АЧХ и ФЧХ), приняв, а = 0. Кроме того, если исходными данными при синтезе служат временные характеристики, то с помощью преобразований Лапласа можно осуществить взаимные переходы от одной формы описания цепи к другой:

Операторной передаточной функцией #(s), или характеристикой, называют отношение L-изображений отклика Y (s) электрической цепи к воздействию X (s) при нулевых начальных условиях. Это понятие является одним из важнейших понятий теории линейных цепей и ее приложений, так как содержит полную информацию о свойствах электрической цепи, представленной в виде двухполюсника или четырехполюсника. Для двухполюсников передаточная функция имеет смысл операторного сопротивления или проводимости. Располагая выражением передаточной функции, можно для заданного воздействия определить отклик цепи Y (s) = H (s)X (sy.

Операторная характеристика может быть представлена отношением двух степенных полиномов, или дробно-рациональной функцией, комплексной переменной s = a±yco с вещественными коэффициентами:

где а_т — вещественные положительные, отрицательные или нулевые коэффициенты; Ь_п — вещественные положительные и ненулевые коэффициенты; Я₀ = а_м/Ь_х — масштабирующий множитель; s_{H т} — нули функции H (s), так как H (s_{u п}) = 0; s_{n п} — полюсы функции H (s_{n n}), при которых H (s_{n n}) = оо, причем s_{H m}, s_{n n} являются корнями полиномов, т. е. определяются из уравнений M (s_H гп) = 0, N (s_{n n}) = 0, их значения могут быть вещественными и попарно комплексно-сопряженными.

Степени полиномов числителя и знаменателя функции.

(6.1.1) зависят от числа реактивных элементов и топологии цепи. Обычно N > М, т. е. число полюсов превышает число нулей, что соответствует ограниченной импульсной характеристике цени.

Свойства передаточной функции H (s) полностью определяются по расположению нулей s_{H т} и полюсов 5_П «на комплексной плоскости.

Функция #(s), все полюсы s_{n п} которой расположены в левой полуплоскости, удовлетворяет условию устойчивости электрической цепи. Как показано в п. 4.2, линейную цепь можно описать дифференциальным уравнением, общее решение которого отражает свободные колебания. Если действительная часть корней характеристического уравнения, которое отождествляется с полюсами s_{n n} передаточной функции #(s), является отрицательной, то свободные колебания в цепи затухают со временем при любых начальных условиях. Поэтому цепь является устойчивой, а функция H (s) — физически реализуемой. Таким образом, знаменатель операторной передаточной функции (6.1.1) любой устойчивой электрической цепи представляет собой полином с вещественными коэффициентами Ь_п9 который называют полиномом Гурвица. Если же передаточная функция цепи имеет полюсы, расположенные в правой полуплоскости, то свободные колебания в цепи нарастают со временем. Такая линейная цепь является неустойчивой, а описывающая ее операторная функция H (s) — физически нереализуемой.

Операторная функции H (s), все полюсы которой s_{n п} лежат на мнимои оси, называется реактанснои, а соответствующая ей цепь не содержит резисторов. Реактансные функции используют при синтезе пассивных цепей. Функции H (s)> все нули s_{H m} которых расположены в левой полуплоскости, называют минимально-фазовыми цепям (МФЦ), если же часть нулей расположена в левой полуплоскости, а часть в правой, то — неминимально-фазовыми цепям (НФЦ). Эти классы цепей рассматриваются ниже.

Комплексные передаточные функции. Степенной полином M (s) с вещественными коэффициентами от мнимого аргумента при s = j (o может быть записан в виде.

В такой же форме может быть представлен и полином знаменателя N (s)_s=j_i0 передаточной функции (6.1.1). Следовательно, после подстановки s =jco в (6.1.1) можно получить следующее выражение комплексной передаточной функции:

где К (со) — зависимость модуля коэффициента передачи цепи по напряжению от частоты, которую называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ); Ф (со) — фазочастотная характеристика (ФЧХ) цепи, при этом:

Реактансные функции. Реактапспыми функциями называют подкласс операторных функций H (s), представляющих собой дробно-рациональную функцию комплексной переменной s со следующими свойствами:

• • наибольшие и наименьшие степени числителя и знаменателя не отличаются более чем на единицу;
• • все коэффициенты H (s) являются вещественными и неотрицательными числами, при вещественных значениях переменной s функция H (s) принимает вещественные значения;
• • ни один из полюсов не располагается в правой полуплоскости, а полюсы, расположенные на мнимой оси, имеют кратность k = 1, т. е. являются простыми;

• вещественная часть комплексной функции H (jco) > 0.

С помощью реактансных функций описывают входные функции реактивных двухполюсников Z,.(s) и Y,.(⁵) = 1/Z/5), т. е. двухполюсных цепей, состоящих только из индуктивностей и емкостей. Реактансная входная функция двухполюсника может быть представлена с помощью полинома Гурвица P (s) одним из следующих отношений:

где P_H(s), P₄(s) — полином нечетной и четной степеней соответственно.

Реактансные функции обладают особыми, важными для синтеза свойствами:

• • нули и полюсы расположены на мнимой оси. По мере увеличения частоты происходит чередование нулей и полюсов, причем как в начале координат (5=0, со=0), так и на бесконечности (5 = ±у'оо, со = ±оо) обязательно имеется либо нуль, либо полюс;
• • любая реактансная функция может быть разложена на сумму простых дробей с вещественными положительными коэффициентами, каждая из которых является нечетной функцией вида

где слагаемое Л_п5 (L_ns —индуктивность) соответствует полюсу при 5 = /оо и представляет собой целую часть дроби, слагаемое A_n/s [1 /(C_Hs) — емкость] соответствует полюсу функции при s = 0, а стоящие под знаком суммирования слагаемые соответствуют парам полюсов на мнимой оси при s = ±700;

• сумма любого числа реактансных функций также является реактансной функцией.

Реактансные функции удовлетворяют необходимым и достаточным условиям реализуемости операторных сопротивлений и проводимостей реактивных двухполюсников. Для их реализации используются метод Кауэра и метод Фостера.

Метод Кауэра базируется на разложении исходной реактансной функции в цепную дробь по следующему алгоритму:

• • если степень полинома числителя выше степени полинома знаменателя, то полином числителя делится на полином ее знаменателя (иначе — полином знаменателя делится на полином числителя);
• • затем полином знаменателя делится на остаток от первого деления, остаток от первого деления на остаток от второго деления и т. д.

Вычисляемые в ходе последовательного деления частные являются значениями емкостей и индуктивностей лестничного двухполюсника.

Метод Фостера основан на представлении заданной функции сопротивления Zr (s) искомого двухполюсника в виде (6.1.4). Значения коэффициентов этого разложения можно определить по следующим формулам:

Подобные формулы используются и для заданной реактансной функции проводимости Y,.(s).

На рис. 6.1.2 изображено четыре варианта схем реактивных двухполюсных цепей, синтезированных по методам Кауэра и Фостера. Путем изъятия из приведенных схем емкостей (С_1? С₂) и индуктивностей (L_t, 1₂) можно получить 12 различных вариантов схем реактивных двухполюсников. Например, четырем вариантам схем на рис. 6.1.2, а соответствуют: 1 — С^О, С₂ Ф 0; 2 — С_х = 0 (отключена), С₂ 0; 3 — С^О, С₂=оо (замкнута); 4 — ^ = 0 (отключена), С₂ = х (замкнута).

Покажем, как можно использовать реактансные функции.

Реализация полиномиальных передаточных функций цепями с лестничной структурой. Полиномиальными передаточными функциями называют функции вида.

где ф) — полином Гурвица.

Рассмотрим LC-четырехполюсник, продольные ветви которого составляют индуктивности, а поперечные — емкости (рис. 6.1.3, а). Известно [22], что при подключении к внешним зажимам 2—2 такого четырехполюсника актив;

Рис. 6.1.2. Схемы реактивных двухполюсников, синтезированных по методам Кауэра (а, б) и Фостера (в, г).

Рис. 6.1.3. LC-цепь с лестничной структурой.

ной проводимости G" его передаточная функция может быть представлена выражением (6.1.5), в котором степень полинома Гурвица п = 2k. Передаточную функцию четырехполюсника по напряжению можно также выразить через У-параметры в следующем виде:

Покажем, как с помощью выражений (6.1.5), (6.1.6) задачу реализации четырехполюсника можно свести к ранее решенной задаче реализации реактансного двухполюсника. Для этого представим передаточную функцию (6.1.5) в виде (6.1.6):

Сопоставляя (6.1.7) c (6.1.6), определяем.

Путем разложения (6.1.8) в цепную дробь можно найти параметры (элементы) четырехполюсника.