Синтез измерительного устройства по критериям динамической точности

Синтез параметров передаточной функции измерительного устройства

Параметрическим синтезом передаточной функции ИУ называется определение таких значений ее параметров, при которых ИУ имеет заданные (желаемые) динамические характеристика В общем случае такими параметрами являются коэффициенты а_{,…, а_п b_{,…, b_m операторной части передаточной функции И У (5.12), зависящие от физических параметров схемы и конструкции ИУ. Эквивалентными параметрами являются нули и полюсы передаточной функции ИУ.

Рассмотрим решение этой задачи для квазистатических ИУ первого, второго и третьего порядков с передаточными функциями вида.

где cij (i = О, 1,2, 3), b₀ — коэффициенты дифференциального уравнения ИУ; К — коэффициент чувствительности ИУ; Т — постоянная времени ИУ; О)₀ — собственная частота ИУ; — относительный коэффициент демпфирования; Л, В — параметры Вышнеградского.

ИУ с такими передаточными функциями часто встречаются в измерительной технике. Поэтому рассматриваемая задача имеет большое практическое значение.

В Приложении 2 даны формулы, с помощью которых можно вычислить все динамические характеристики таких ИУ (полные и частные). По аналогии с типовыми динамическими звеньями устройства с такими передаточными функциями можно считать типовыми ИУ.

Число коэффициентов относительной передаточной функции таких И У совпадает с порядком их характеристического уравнения п. Для И У первого порядка таким коэффициентом является постоянная времени Г, для ИУ второго порядка — собственная частота со₀ (или постоянная времени Т = 1/со₀) и относительный коэффициент демпфирования для ИУ третьего порядка — собственная частота а)₀ (или постоянная времени Т = = 1/со₀) и параметры Вышнеградского Л, В. Коэффициент чувствительности К на показатели динамической точности И У не влияет.

Если известны физические параметры схемы и конструкции ИУ, то можно определить коэффициенты a_v b₀ его дифференциального уравнения, а затем — параметры относительной передаточной функции И У.

после этого можно, используя q) opM^bi приложения z, вычислить показатели динамической точности ИУ, т. е. решить задачу анализа динамических характеристик ИУ. Решая задачу параметрического синтеза, необходимо, напротив, определить такие значения параметров ИУ, при которых выполняются заданные требования к его динамическим характеристикам. Эта задача решается в обратном порядке, т. е. сначала определяются параметры относительной передаточной функции ИУ со₀, Г, Л, ?, а затем — параметры схемы и конструкции ИУ. Покажем порядок решения таких задач.

Единственным параметром относительной передаточной функции ИУ первого порядка (6.31) является постоянная времени Т. Если на длительность переходного процесса t_n в таком ИУ наложено требование t_n < ?_пд, где t_m — допустимое значение длительности переходного процесса, то выбор постоянной времени ИУ Т нужно подчинить условию (см. табл. 2 приложения 2) где Д — допустимое значение относительной переходной погрешности.

Выбор конкретного значения ?_пд может быть связан с интервалом времени, необходимым для получения результата измерения. Это особенно важно, когда И У используется в режиме «обслуживания очереди», например, при сортировке по размеру (или массе) деталей, последовательно поступающих на измерительную позицию.

Если ИУ используется для измерения меняющейся во времени величины, то к его динамическим характеристикам может предъявляться другое требование — со_п > со_ПЛ, где со_11Д — минимально допустимое значение ширины полосы пропускания частот. В этом случае выбор постоянной времени ИУ следует подчинить другому условию (см. табл. 2 приложения 2) —.

где е — допустимое значение относительной частотной погрешности.

В этом случае выбор значения со_пд в формуле (6.36) может быть связан с необходимостью выполнения условия со_пд > й_ис, где й_ис — полоса частот измерительного сигнала (см. (7.56)).

П Относительная передаточная функция типового ИУ второго порядка (6.32) содержит два параметра, влияющие на динамические характеристики такого ИУ: собственную частоту ш₀ и относительный коэффициент демпфирования Из (6.32) следует, что, неограниченно увеличивая ео₀, можно (независимо от значения ?) получать сколь угодно малые динамические искажения измерительного сигнала, так как с ростом собственной частоты W₀(p)—>1. На практике это требование может входить в противоречие с необходимой чувствительностью ИУ. Например, увеличение собственной частоты терморезисторного термометра, рассмотренного в параграфе 3.2, приводит к уменьшению чувствительности прибора. Кроме того, требования к динамическим характеристикам не всегда предусматривают полное отсутствие инерционности ИУ. Например, из соображений фильтрации помех бывает необходимо сократить ширину полосы пропускания частот ИУ со, что требует снижения о)₀.

Расчет желаемых значений со₀ и ?, зависит от состава и характера тех требований, которые предъявляются к динамическим характеристикам ИУ. В табл. 6.1 приведены типовые сочетания таких требований и алгоритмы решения соответствующих (типовых) задач синтеза.

Пункт 1 этой таблицы соответствует случаю, когда от И У требуется минимальная длительность переходного процесса (?_п =min) и заданное значение ширины ППЧ (со_п =со_пз). В этом случае относительный коэффициент демпфирования? вычисляется по формуле (29), а форма переходной характеристики ИУ должна иметь вид кривой У, показанной на рис. 3 (приложение 2). Соответствующее минимальное значение длительности переходного процесса вычисляется по формуле ?_nmin =T_nmin/o)₀, где расчет величины x_nmin выполняется по формуле (25) (приложение 2) или так, как показано на рис. 4 (приложение 2) и рис. 5.10.

С помощью алгоритма и. 2 можно определить такие значения? и со₀, при которых ИУ имеет максимальную ширину ППЧ (со_п = шах) и заданную длительность переходного процесса (?_п = t_n3). В этом случае относительный коэффициент демпфирования вычисляется по формуле (38), а форма АЧХ должна быть такой, как показано на рис. 9 (кривая 1). Соответствующее максимальное значение ширины ППЧ вычисляют по формуле со_пшах = Ynmax^o" где величину у_птах рассчитывают по формуле (39) (приложение 2).

Таблица 6.1

Алгоритмы синтеза параметров передаточной функции ИУ второго порядка.

Пункт 3 таблицы соответствует случаю, когда нужно получить заданные значения t_n =t_n3 и со_п =со_п;}. Эта задача имеет решение, если ?_пз >?_nmin

В остальных пунктах табл. 6.1 рассматривается случаи, когда требования предъявляются только к показателям качества переходного процесса. В п. 4 такими требованиями является получение заданных значений перерегулирования (а = а₃) и длительности переходного процесса (?_п =?_пз).

В п. 5 и б рассматриваются случаи, когда для оценки переходного процесса используются интегральные показатели качества. В работе [28] даны примеры таких расчетов.

Примечание: рассмотренные алгоритмы расчета справедливы, если параметры со₀ и? не зависят один от другого.

Алгоритмы синтеза параметров передаточной функции типового И У третьего порядка (с передаточной функцией (6.33)) практически не отличаются от приведенных в табл. 6.1. Отличие заключается только в том, что вместо одного безразмерного параметра ?, влияющего на форму динамических характеристик ИУ, нужно определять два таких параметра: параметры Вышнеградского Л, В или параметры Q = Т_х/Т₂ и ?, |28|.

В качестве примера покажем расчет оптимальных параметров сильфонного пневматического прибора, предназначенного для автоматического контроля овальности деталей (рис. 6.14).

Рис. 6.14. Прибор для контроля овальности детали:

1 — корпус; 2 — пружина; 3 — демпфер; 4 — цилиндр; 5 — сильфон; в — трубопровод; 7 — пружина; 8 — контакты; 9 — воздушный зазор; 10 — деталь Пример 6.5.

В корпусе 1 прибора на двух плоских пружинах 2 жесткостью q = 100 Н/м каждая подвешен цилиндр 4 массой m = 0,1 кг, соединенный с сильфоном 5, имеющим осевую жесткость с₂ = 500 Н/м. Давление воздуха в сильфон подается через трубопровод 6, имеющий выход в зазор 9 между соплом пневматического преобразователя и контролируемой деталью 10. Усилие предварительного натяга и регулировка прибора осуществляются пружиной 7 жесткостью с₃. Для успокоения нежелательных колебаний цилиндра в схему прибора введен демпфер вязкого трения 3. Создаваемая им сила демпфирования F_d пропорциональна скорости перемещения цилиндра s, т.с. F_(l =k_ds> где k_d — постоянный коэффициент, зависящий от конструктивных параметров демпфера.

Изменение давления в сильфоне пропорционально изменению зазора 9, т. е. AP/Pq = А₆/5₀, где Р₀ — давление, соответствующее номинальному зазору 8₀. Если деталь имеет эксцентриситет е и вращается с угловой скоростью со, то зазор и давление воздуха в сильфоне изменяются по гармоническому закону, т. е. Д§ =esin (cot) и ДР = P₀(e/8₀)sm ((o?). Если овальность сложная (полигармоническая), то и АР — периодические функции времени. При изменении давления возникает движущая сила Р_дв = ДР^_;)фф (где 5эфф — эффективная площадь сильфона), под действием которой цилиндр перемещается. Если овальность контролируемой детали выходит за пределы поля допуска, то происходит замыкание одного из контактов 8 и подается сигнал на отбраковку. Допустимая динамическая погрешность прибора 2%.

Необходимо определить жесткость с₃ пружины 7 и коэффициент демпфирования демпфера k^ при которых обеспечиваются максимальная ширина полосы пропускания частот (0_птах и заданная длительность переходного процесса t_n3 = 0,05 с, возникающего при установке детали на измерительную позицию. В этом случае достигается максимальная скорость вращения контролируемой детали со, что в свою очередь способствует максимальной производительности контрольно-сортировочного автомата. Рассматриваемые требования соответствуют п. 2 табл. 6.1.

Решение

Примем в качестве обобщенной координаты перемещение s = s (t) цилиндра 4 относительно положения равновесия. Тогда его движение описывается дифференциальным уравнением

где с = 2с_{ + с₂ + с’з — суммарная жесткость подвеса; F_1B(0 = F_maxsin (coO — движущая сила, амплитуда F_max которой пропорциональна отклонению размера контролируемой детали от номинального размера. Соответствующая относительная передаточная функция прибора эквивалентна передаточной функции ИУ второго порядка (6.32).

где Т₂ = 1/cjOq ^— постоянная времени; со₀ — относительный коэффициент демпфирования (степень успокоения свободных колебаний) и собственная частота прибора, вычисляемые по формулам (6.34). Определим значения этих параметров, подчиняя их выбор выполнению заявленных требований.

Условие максимума ширины полосы пропускания частот выполняется, если относительный коэффициент демпфирования равен (см. (38)).

Соответствующие относительную длительность переходного процесса т_п, относительную ширину полосы пропускания частот у_птах, верхнюю границу полосы пропускания частотсо_птах, собственную частоту со₀ и постоянную времени прибора Т₂ можно вычислить, используя методики расчета и формулы из приложения 2. В результате получим.

На рис. 6.15 пунктирными кривыми 1 показаны соответствующие АЧХ (рис. 6.15, а) и переходная характеристика прибора (рис. 6.15, б). Видно, что форма АЧХ является оптимальной (см. рис. 9 приложения 2, кривая У), требование к длительности переходного процесса (t_n = 0,05 с) также выполняется.

Зная коэффициенты передаточной функции (6.38), можно определить искомые параметры прибора.

Рис. 6.15. Синтезированные динамические характеристики прибора:

а — амплитудно-частотные характеристики; 6 — переходные характеристики Если учесть инерционность воздушной магистрали, то вместо (6.38) получим.

где Т_{ — постоянная времени воздухопровода; Т, — постоянная времени подвижной системы прибора; Л, В — параметры Вышнеградского.

Определим, какими должны быть параметры прибора в этом случае. Используя данные табл. 10 для случая е = 2% находим.

или (см. (46)).

В этом случае у_птах = 1,008, т_п = 8,221, т. е.

Следовательно (см. (46)),.

В результате искомые жесткость регулировочной пружины 7 и коэффициент демпфирования демпфера равны (см. (6.39)).

На рис. 6.15 сплошными кривыми 2 показаны соответствующие динамические характеристики прибора: АЧХ (рис. 6.15, а) и переходная характеристика (рис. 6.15, б). Видно, что все требования к показателям динамической точности выполняются.