Дифракция света на щели

Пусть на непрозрачный плоский экран, в котором вырезана длинная узкая щель, падает нормально плоская гармоническая волна.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

За экраном помещена собирающая линза, в фокальной плоскости которой расположен экран для наблюдения дифракционной картины (рис. 13.8). В каждой точке Р на экране собираются вместе и интерферируют идущие от щели параллельные лучи вторичных волн. На рис. 13.8 показаны такие лучи, образующие угол в с нормалью к плоскости щели. Для определения амплитуды суммарного колебания в точке Р применим принцип Гюйгенса Френеля и принцип суперпозиции. С этой целью затянем щель плоской поверхностью а. Эта плоскость удобна тем, что она совпадает с фазовой плоскостью падающей волны. В качестве элементов da поверхности, являющихся источниками вторичных волн, выберем узкие полоски, ''вырезанные" из поверхности а вдоль щели. Одна из таких полосок показана на рис. 13.8. Расстояние до края Оi щели до этой полоски обозначим х. При этом ее ширина будет равна dx. Колебание, возбуждаемое в точке Р вторичной волной, пришедшей от этой полоски, имеет вид:

где амплитуда dE_m согласно принципу Гюйгенса — Френеля пропорциональна ширине полоски:

Линза обладает свойством таухронизма, которое выражается в том, что оптические длины 0Р и ВР двух лучей равны. Такие лучи называются таухронными. Это название означает, что свет преодолевает расстояния 0Р и ВР за одинаковое время. С учетом этого свойства для оптической длины луча АР, идущего от полоски da, можно записать следующее выражение.

Рис. 13.8. К описанию дифракции Фраунгофера на щели.

Подставим выражения (13.24) и (13.25) в формулу (13.23). Следуя принципу суперпозиции, найдем колебание в точке Р, возбуждаемое вторичными волнами, идущими от всех элементов поверхности а:

где а = а₀ — к • 0Р, а — ширина щели. Вычислим этот интеграл по формуле Ньютона — Лейбница:

Преобразуем это выражение при помощи тригонометрической формулы (13.10). Получим:

где амплитуда колебаний.

Е_т = С а. Согласно этим формулам, в точке О, лежащей против середины щели и соответствующей 9 = 0, колебания вектора Е происходят по закону При выводе этой формулы учтено, что при малых значениях аргумента х можно положить sin х ~ х. График зависимости амплитуды Е_т от sin 0 представлен на рис. 13.9.

Рис. 13.9. Дифракция Фраунгофера на щели. График зависимости амплидуды Е_т от sin 9.

Амплитуда (13.27) обращается в ноль при 0 ф 0, если.

где т = ±1, ±2,…

Отсюда следует, что.

Формулу (13.27) для амплитуды светового колебания в произвольной точке Р на дифракционной картине можно получить посредством описанного в разделе 13.2 графического метода. Для этого фазовую плоскость, затягивающую щель, разобьем на узкие полоски одинаковой ширины dx. Пусть г = 1, 2,…, N — номер полоски. Колебание в точке Р_у возбуждаемое волной, пришедшей от произвольной полоски, будет описываться формулой (13.23). Каждое колебание следует представить вектором dAiy длина которого равна амплитуде dE_m колебания, а угол между этим вектором и некоторым произвольным направлением (осью х) — начальной фазе колебания. Так как все полоски имеют одну и ту же ширину dxy амплитуды колебаний в точке Р, создаваемых вторичными волнами от различных полосок, будут одинаковы. Разность фаз между колебаниями от соседних полосок равна.

Рис. 13.10. Векторная диаграмма.

и не зависит от номера i полоски. Таким образом, векторы <�М, представляющие колебания от различных полосок, будут иметь одну и ту же длину dE_m, и каждый вектор будет повернут относительно предыдущего на один и тот же угол 6(р. При этом, если начало каждого вектора.

dAi поместить в конец предыдущего вектора dx —? 0 переходит в дугу окружности (рис. 13.10). Сумма векторов.

dAi есть вектор Л, начало которого совпадает с началом первого вектора dAy а конец — с концом последнего dAtf. Как видно из рис. 13.10, длина вектора А равна длине хорды, стягивающей дугу окружности из слагаемых векторов dA_t.

Разность фаз Д<�р между колебаниями в точке Р от вторичных волн, приходящих от краев щели О и О2, определяется разностью длин лучей.

0Р и ОпР (рис. 13.8):

При этом угол между векторами dA и <�М//, представляющими эти колебания, будет равен А<�р.

В точке О на экране собираются лучи, идущие под углом в = 0. Все колебания в этой точке имеют одну и ту же фазу (А<�р = 0). Поэтому все векторы dAi имеют одно и то же направление, а модуль их суммы будет равен сумме модулей этих векторов (рис. 13.11):

Рис. 13.11. Векторная диаграмма при 0 = 0.

Так как амплитуды dE_m колебаний практически не зависят от угла в, длина дуги окружности на рис. 13.10, т. е. сумма.

для всех точек Р равна Е_то. Используя геометрические построения на рис. 13.10, найдем длину хорды:

где г — радиус окружности, который связан с длиной дуги Е_то соотношением.

Исключив из этих соотношений величину г, придем к формуле.

которая после подстановки в нее выражения (13.30) принимает вид (13.27). Учитывая, что интенсивность I ~ Е^, нетрудно найти ее зависимость от угла в.