Задачи для самостоятельного решения

Функции дискретных случайных величин

8.1. Случайная величина ?, имеет распределение, представленное в таблице. Найти закон распределения случайной величины г = ?, .

8.2. Случайная величина % имеет распределение, представленное в таблице. Найти закон распределения случайной величины г| = |%-1| +.

+М;

8.3. Случайные величины и Е,₂ имеют распределения, представленные в таблицах. Найти закон распределения случайной величины Л = ^2;

8.4. Пусть ^ и Ъ,₂ — координаты случайного вектора г| = {^, ?₂}, имеющего представленный в таблице закон распределения. Найти распределение произведения координат вектора г.

Функции одной непрерывной случайной величины

• 8.5. Случайная величина Е, имеет F (x) своей функцией распределения. Найти функцию и плотность распределения случайной величины Л = $^-1.
• 8.6. Плотность распределения случайной величины равна

. ГСх^-5, х>1,.

р_?(х) = ^ Наити постоянную С и плотность распределения.

^s [0, х<1.

случайной величины ц = 2^.

• 8.7. Случайная величина Е, имеет равномерное распределение на промежутке (0; 3]. Найти плотность распределения случайной величины Г) = %³.
• 8.8. Случайная величина Е, имеет показательное распределение с параметром X = 1. Найти плотность распределения случайной величины ц = е?.
• 8.9. Случайная величина Е, имеет нормальное распределение с параметрами а — 0, а² — 1. Найти плотность распределения случайной величины Г| = ?⁵.
• 8.10. Случайная величина Е, ~ N (a, а²). Найти плотность распределения случайной величины ц = е^.
• 8.11. Случайная величина Е, имеет распределение Лапласа с параметром X. Найти плотность распределения случайной величины ц = | Е, |.
• 8.12. Найти плотность распределения случайной величины r| = cos?, если случайная величина Е, имеет равномерное распределение в промежутке: а) -; б) [0;4тг].

• 8.13. Диаметр звезды измерен приближенно. Считая, что его величина Е, равномерно распределена на отрезке [а; Ь], найти плотность распределения площади светящегося круга звезды.
• 8.14. Случайная величина ?, имеет равномерное распределение на промежутке [-2; 2]. Найти распределение случайной величины

л=|2г;|+М;

8.15. Случайная величина 4 имеет равномерное распределение на промежутке [-1; 2]. Найти распределение случайной величины л=м+|§|+М.

Функции нескольких непрерывных случайных величин.

• 8.16. Случайные величины Ъ, и р независимы и имеют показательные распределения с параметром Л = 2. Найти плотность распределения их суммы Е, + Г|.
• 8.17. Случайные величины ?, и г) независимы и имеют распределения Лапласа с параметром X = 1. Найти плотность распределения их суммы? + Л-
• 8.18. Случайные величины Е, и г) независимы и распределены и имеют равномерные распределения на отрезке [0; 2]. Найти плотность распределения их суммы.
• 8.19. Случайные величины Е, и р независимы и имеют одна стандартное нормальное распределение, другая — нормальное распределение с ME, = 1, DE, = 1. Найти плотность распределения их суммы.
• 8.20. Случайные величины % и р независимы и имеют одна равномерное распределение на отрезке [0; 1], другая — показательное распределение с параметром X = 1. Найти плотность распределения их суммы.
• 8.21. Случайные величины^и р независимы и имеют одна равномерное распределение на отрезке [0; 1], другая — распределение Лапласа с параметром X = 1. Найти плотность распределения их суммы.
• 8.22. Случайные величины^ир независимы и имеют одна равномерное распределение на отрезке [0; 2], другая — стандартное нормальное распределение. Найти плотность распределения их суммы.
• 8.23. Случайные величины %ир независимы и имеют одна показательное распределение с параметром X = 2, другая — стандартное нормальное распределение. Найти плотность распределения их суммы.
• 8.24. Найти плотность распределения вероятностей суммы двух независимых случайных величин Е, и г, имеющих распределения Е, ~ ~ ?/С[—1; -0,5] и [0,5; 1]), р ~ [Д-0,5; 0,5]. Изобразить график плотности.
• 8.25. Случайные величины Е, и р независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Найти Р{Е, + р < 1}.
• 8.26. Случайные величины Е, и р независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Найти Р{Е, + 2р < 1}.
• 8.27. Случайные величины Е, и р независимы и имеют показательное распределение с параметром X — 1. Найти Р{Е, + р < 1}.

• 8.28. Случайные величины Е, и г) независимы и имеют показательное распределение с параметром X = 1. Найти Р{? + г| < 2}.
• 8.29. Случайные величины Е, и Г| независимы и имеют показательное распределение с параметром X = 2. Найти Р{2?, + Г| < 2}.
• 8.30. Случайная величина ?, имеет показательное распределение с параметром X = 1, случайная величина г| имеет закон распределения Лапласа с параметром X = 1. Найти Р{? + л < 1}, если случайные величины независимы.
• 8.31. Найти плотность распределения вероятностей разности р^__п (х) двух независимых случайных величин ?, и г|, имеющих распределения с, ~ ~U[0, 1], ц~и[0, 1].
• 8.32. Найти плотность распределения вероятностей разности двух независимых случайных величин р*__п(х), имеющих показательное распределение с параметром Х = 2.
• 8.33. Случайные величины Е, и Г| независимы и имеют показательное распределение с параметром X = 1. Найти Р{Е, — r| < 1}.
• 8.34. Найти плотность распределения вероятностей произведения р^(х) двух независимых случайных величин Е, и г|, имеющих распределения Е, ~ U[l, 2], Г) ~ [/[0, 1]. Изобразить график плотности.
• 8.35. Найти плотность распределения вероятностей отношения р_? (х) двух независимых случайных величин Е, и г|, имеющих распреде-

ч.

ления Е, ~ ЕхрС 1), Л ~ [/[0, 1].

8.36. Найти плотность распределения вероятностей отношения р₄(х) двух независимых случайных величин Е, и л, имеющих распреде-

ч.

ления Е, ~ U[0, 1], л ~ МО, 1).

8.37. Случайные величины Е, и л независимы и имеют показательное распределение с параметром X = 2. Найти Р< — .

[Л J.

8.38. Случайные величины Е, ил независимы и имеют нормальное

распределение с параметрами ME, = Mr = 1, = Dr = 1. Найти вероят

ность Р{1 < Е, + л < 3}.

• 8.39. Случайные величины Е, и л независимы и имеют распределение Лапласа с параметром X = 1. Найти функцию распределения их суммы Е, + л-
• 8.40. Найти плотность распределения вероятностей произведения двух независимых случайных величин р^_л(а) при условии, что, а < 0.
• 8.41. Найти плотность распределения вероятностей р" (а) отноше-

ч.

ния двух независимых случайных величин Е, и л при условии, что а < 0.

• 8.42. Найти плотность распределения суммы трех независимых случайных величин л, 0, если:
  • а) каждая имеет стандартное нормальное распределение;
  • б) $ ~ МО, 1), Л ~ Ml, 4), 0 ~ N (2, 9).

• 8.43. Две случайные величины и л независимы и имеют следующие распределения: ?, ~ t/[0, 1], Л ~ С/[0, 1]. Найти плотность распределения вероятностей суммы 2? + Згу
• 8.44. Две случайные величины Е, и Г) независимы и имеют следующие распределения: Е, ~ U[0, 1], л ~ Н[0, 1]. Найти плотность распределения вероятностей суммы 2^ + л²-
• 8.45. Две случайные величины Е, и л независимы и имеют следующие распределения: % ~ 1Д0, 1], л ~ (ДО, 1]. Найти плотность распределения вероятностей разности — 2л.
• 8.46. Две случайные величины Е, и л независимы и имеют следующие распределения: Е, ~ U[0, 1], л ~ Ехр{ 1). Найти плотность распределения вероятностей суммы Ini; + (2л — 1).