Задачи для самостоятельного решения

Гипотезы о параметрах нормального распределения

• 15.1. Построить критерий отношения правдоподобия для случайной величины i; ~ N (a, а²) с известной дисперсией а² и неизвестным математическим ожиданием а, относительно которого имеются две гипотезы:
  • а) основная гипотеза Н₀: а = а₀ и альтернативная Щ: а = а_х > а₀;
  • б) основная гипотеза Н₀: а = а₀ и альтернативная Н_х: а = a_a < a₀;
  • в) основная гипотеза Н₀: а = а₀ и альтернативная Н_х: а Ф а₀.

L Гх).

• 15.2. Найти квантиль Ко. распределения статистики ——- в задаче
• 1о (х)

Неймана — Пирсона a = Р i А®. > К_а Н₀ i для случайной величины? ~.

1А)(х) J.

~ N (a, а²) с известной дисперсией о² и неизвестным математическим ожиданием а, относительно которого имеются две гипотезы: основная гипотеза Н₀: а = а₀ и альтернативная Н^. а = а₁> а₀. Ответ дать как 1пК_а.

• 15.3. Пусть случайная величина? — N (a, а²). Проверяется основная гипотеза Н₀: а = а₀ при альтернативной Н_х: а = а_г > а₀. Найти минимальный объем выборки, позволяющий разделить гипотезы Н₀ и Н_г с известными, а и р.
• 15.4. По выборке объема п, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а, на уровне значимости, а проверяется нулевая гипотеза Н₀: а = а₀. Найти вероятность ошибки второго рода, если Н_г: а = а_} > а₀.
• 15.5. Построить критерий отношения правдоподобия для случайной величины? ~ Л/(а, а²) с неизвестной дисперсией а² и неизвестным математическим ожиданием а, относительно которого имеются две гипотезы:
  • а) основная гипотеза Н₀: а = а₀ и альтернативная Н_г: а = а_г> а₀;
  • б) основная гипотеза Н₀: а = а₀ и альтернативная Н_г: а = а_г < а₀;
  • в) основная гипотеза Н₀: а = а₀ и альтернативная Н_г: а ч* а₀.
• 15.6. Построить критерий отношения правдоподобия для случайной величины % ~ JV (a, а²) с известным математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией а², относительно которой имеются две гипотезы:
  • а) основная гипотеза Н₀:а² =а§, альтернативная Н_г: а² =а^ >а^;
  • б) основная Н₀: а² =а§, альтернативная Я_:: а² =а^ <�а^;
  • в) основная Н₀: а² =а§, альтернативная Н₂: а²
• 15.7. Построить критерий отношения правдоподобия для случайной величины ?, ~ N (a, а²) с неизвестным математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией а², относительно которой имеются две гипотезы:
  • а) основная гипотеза Н₀:а² =а§, альтернативная Н₂: а² =а^ >а^;
  • б) основная гипотеза Я₀: a² = 2: a² =а²
  • в) основная гипотеза Я₀: а² =а§, альтернативная Н_г: а²

Гипотезы о параметрах других распределений

• 15.8. Построить критерий отношения правдоподобия для неизвестной вероятности успеха р в испытаниях Бернулли, относительно которой имеются две гипотезы:
  • а) основная гипотеза Я₀: р = р₀, альтернативная Н_г: р = р_г> р₀;
  • б) основная гипотеза Я₀: р = р₀, альтернативная Н₁:р=р₁ < р₀;
  • в) основная гипотеза Я₀: р =р₀, альтернативная Я₂: р Ф р₀,

_Л л

если точечная оценка р = 0 получена ММП.

• 15.9. Имеется последовательность независимых испытаний Бернулли с неизвестной вероятностью успеха р. На уровне значимости a проверяется нулевая гипотеза Я₀: р = р₀ при альтернативной гипотезе Н₁:р=р₁> р₀. Вычислить объем выборки п, необходимый для достижения заданных ошибок первого и второго рода аир.
• 15.10. Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром X. Требуется на уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу Н₀: X = Х₀, если альтернативная гипотеза Н₁:Х = Х₁> Х₀. Построить критерий отношения правдоподобия. Вычислить объем выборки п, необходимый для достижения заданных ошибок первого и второго рода а и (3, если точечная оценка Х = х получена ММП.
• 15.11. Случайная величина? распределена равномерно ?, ~ Н[0, 0]. На уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу Н₀: 0 = 0_О при альтернативной гипотезе Н_:: 0 = 0_а > 0_О, если точечная оценка 0 = 2х, полученная методом моментов, асимптотически нормальна.
• 15.12. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром X. Требуется на уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н₀: X = Х₀, если альтернативная гипотеза Я_х: X — Х₁ Ф Л₀. Построить критерий отношения правдоподобия, если точечная оценка
• 1 = ^ получена ММП.

х.

15.13. Случайная величина имеет геометрическое распределение с вероятностью р. Требуется на уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н₀: р — р₀, если альтернативная гипотеза Н_х: р =р_х < р₀. Построить критерий отношения правдоподобия, если точечная оценка.

р =— получена ММП.

х.

• 15.14. Случайная величина имеет распределение Лапласа с параметром X. Требуется на уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу Н₀: X = Х₀, если альтернативная гипотеза Н_х: X = Х_г ^ Х₀. Построить критерий отношения правдоподобия, если точечная оценка Х =-
• -IKI

п i=l.

получена ММП.

15.15. Проверяется нулевая гипотеза о том, что случайная величина имеет нормальное распределение N (0, а²), против гипотезы, что она равномерно распределена на отрезке [-За; За]. Построить критерий отношения правдоподобия.

Вычислительные задачи.

Нормальное распределение

• 15.16. Пекарня выпекает белый багет рустика с номинальным весом 650 г и средним квадратическим отклонением 15 г. Средний вес 100 отгруженных батонов оказался равен 647 г. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о том, что средний вес батона соответствует номинальному весу
• 15.17. Через перекресток в часы пик в среднем могли проехать 700 автомобилей в час. Схема движения на перекрестке была изменена. Счетчик, фиксирующий число автомобилей, в течение 100 наиболее напряженных часов работы перекрестка фиксировал в среднем 710 автомобилей со средним квадратическим отклонением 30 автомобилей. Можно ли утверждать на уровне значимости 0,01, что новая схема проезда перекрестка повысила его пропускную способность?

• 15.18. С целью проверки на уровне значимости, а = 0,05 равенства математического ожидания нормальной генеральной совокупности величине 15 была сделана выборка из 9 наблюдений с известным средним квадратическим отклонением <�т = 4. Найти:
  • а) вероятность ошибки второго рода для проверки гипотезы Н_г: а = = а_г- 16;
  • б) объем выборки П] при котором вероятность ошибки второго рода равна 0,2.

Распределение Стъюдента

• 15.19. Магазин продавал в день товаров в среднем на 50 тыс. руб. Приглашенный дизайнер иначе оборудовал торговый зал, после чего в течение 10 дней продажи стали составлять в среднем 55 тыс. руб. с исправленным выборочным средним квадратическим отклонением 7 тыс. руб. Можно ли утверждать на уровне значимости 0,05, что дизайнерская работа была эффективной?
• 15.20. В обувной торговый центр пришла партия обуви с фабрики. Товаровед решила проверить соответствие маркировки действительному размеру обуви. Взяв наиболее ходовой 41-й размер обуви, что соответствует длине стельки в 27 см и среднему квадратическому отклонению 0,5 см, он измерил длину стелек 15 пар обуви. Средний размер стельки оказался равным 27,3 см. На уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о том, что средняя величина размера соответствует нормативу.
• 15.21. Рабочий добирался до места своей работы в среднем за 60 мин. Коллега посоветовал воспользоваться другим маршрутом движения. В результате восьми поездок время в пути составило величины 64, 47, 48, 50, 62, 54, 60, 55 мин. Можно ли утверждать на уровне значимости 0,05, что новый маршрут стал по времени короче?
• 15.22. Средняя длительность лечения больных в стационаре составляет 13,8 суток. Лечащий врач назначил 10 пациентам новый поступивший в стационар препарат. В результате длительность лечения больных в группе составила 10, 11, 9, 13, 12, 15, 11, 13, 12, 14 суток. Можно ли утверждать с вероятностью 0,95, что новый препарат оказался эффективным?

Распределение хи-квадрат

• 15.23. Активы с дисперсией доходности более 0,04 не вызывают беспокойства на рынке. Будет ли на рынке интересен новый актив, если в течении последних 10 лет исправленная выборочная дисперсия дохода по нему составила величину 0,06? Уровень значимости 0,05.
• 15.24. Отдел технического контроля провел выборочную проверку партии продукции, изъяв 30 изделий. Исправленная выборочная дисперсия оказалась равна 0,3 при норме 0,2. Будет ли партия отправлена заказчику? Уровень значимости 0,05.
• 15.25. Посадочный материал картофеля считается стандартным, если клубни отличаются по весу не более чем на 50%. Разброс (среднее квадратическое отклонение) для выборки из 20 клубней оказался равным 70%. Можно ли считать посадочный материал стандартным на уровне значимости 0,05?
• 15.26. Технология укладки дорожного покрытия предусматривает наличие неровностей асфальта по высоте укладки с дисперсией 2 мм². Асфальт не должен быть скользким и не должен иметь ямок. Замеры в 15 точках показали неровность (среднее квадратическое отклонение) 0,8 мм. Выдерживается ли технологический регламент на уровне значимости 0,02?
• 15.27. Технология укладки асфальта предусматривает определенную толщину асфальтового покрытия, дисперсия которой равна 9 см². Покрытие не должно иметь локальных мест с тонким слоем, где асфальт быстро разрушается, слой не должен быть толстым во избежание неэкономного расходования гудрона. Выборочное сверление уложенного асфальта в пяти местах показало среднее квадратическое отклонение в 4 см. Выдерживается ли технологический регламент?
• 15.28. В отдел технического контроля (ОТК) поступил на поверку прибор для измерения больших напряжений со шкалой до 1000 В, точность которого по паспортным данным составляет 1%. В ОТК провели 10 контрольных измерений эталонного напряжения в 1000 В. Среднее квадратическое отклонение оказалось равным 5,0 В. Будет ли прибор признан технически исправным с уровнем значимости 0,01?
• 15.29. Получен ряд наблюдений случайной величины относительно поведения которой сделаны два предположения: ?, ~ N (0, а²) или

% е J 6у ^{Х €} ^ ' Построить критерий отношения правдоподобия.

[о, х г [-За; За].

Распределение Бернулли

• 15.30. Парфюмерная фирма каждый год устраивает рекламную раздачу новых пробных духов. Из 2000 женщин 240 заинтересовались новым ароматом. Можно ли утверждать (на уровне значимости 0,05), что новые духи привлекли большее внимание, чем духи, рекламировавшиеся в прошлом году, когда рекламная компания привлекла 200 человек?
• 15.31. Туристический отель подготовился к сезону, рассчитывая, что из 1000 заселяющих отель туристов 700 человек предпочтут завтрак полупансиону. Из первых 150 заехавших в отель туристов «только завтрак» предпочли 93 человека. Оправдались ли предположения отеля, если проверять гипотезу Н₀: р =р₀ = 0,7 при альтернативной Ну р Ф 0,7 на уровне значимости критерия а = 0,05?
• 15.32. По 900 независимым испытаниям найдена относительная частота успеха 0,15. На уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: р = 0,17 при конкурирующей гипотезе Ну р Ф 0,17.

15.33. В некоторых избирательных округах прошли перевыборы депутатов, срок действия полномочий которых закончился. Кандидаты одной из двух конкурирующих партий победили в 163 округах из 300. Можно ли утверждать с вероятностью 0,95, что большинство избирателей поддерживает эту партию?

Распределение Пуассона

• 15.34. В киоск «Справочная» торгового центра посетители обращаются в соответствии с распределением Пуассона, каждый день в среднем 200 человек. Киоск был передвинут на более видное место, после чего в течение 25 рабочих дней за справкой обращалось в среднем 210 посетителей в день. Можно ли утверждать на уровне значимости, а = 0,05, что число обращений за справкой увеличилось?
• 15.35. Число бракованных изделий среди выпускаемых в дневную смену цехом за час в среднем равно 10 и имеет распределение Пуассона. Отдел технического контроля (ОТК) провел выборочную проверку изделий, изготовленных цехом в ночную смену, и установил, что за 100 ночных часов размер брака составлял в среднем 11 изделий в час. В результате был сделан вывод о влиянии времени суток на качество работы коллектива цеха. Можно ли согласиться с выводом ОТК на уровне значимости 0,05?

Показательное распределение

• 15.36. Выборочные испытания 100 изделий показали, что их средний срок службы составляет 850 ч. В предположении, что срок службы изделия распределен показательно, проверить гипотезу о том, что генеральное среднее составляет 1000 ч (против гипотезы, что оно меньше) на уровне значимости 5%.
• 15.37. Лекарственное средство выводится из организма в соответствии с показательным законом и является эффективным в течение 24 ч. Лечение в стационаре 100 больных показало, что эффективность лекарства составила в среднем 20 ч. На уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что средний срок воздействия лекарственного препарата в действительности меньше.

Геометрическое распределение

• 15.38. В рекламе интернет-магазина указывается, что каждый клиент делает не менее двух покупок. Анализ выборки из 100 заказов показал, что в среднем делается 1,6 покупки. Число покупок в заказе имеет геометрическое распределение. На уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что реклама дает достоверную информацию.
• 15.39. Спортсмены на тренировке обычно фиксируют выстрелы по мишени до первого промаха. После длительной тренировки были подведены итоги проверки меткости стрельбы. В выборке из 100 наблюдений был зафиксирован промах в среднем после шестого выстрела, тогда как до тренировки вероятность промаха составляла в среднем 0,2. Была ли тренировка результативной на уровне значимости о. = 0,05?

Распределение Лапласа

15.40. Известно, что дневные доходности одного из инструментов фондового рынка имеют распределение Лапласа со средним значением доходности 0,25% и реагируют на макроэкономические релизы. После выхода одного из релизов было изучено 100 изменившихся счетов резидентов. Средняя дневная доходность оказалась равной 0,20%. Можно ли утверждать на уровне значимости, а = 0,01, что доходность инструмента уменьшилась?

Гипотезы для двух выборок.

• 15.41. По выборкамх_1; х₂, …, х_п иу₁, у₂, …, у_т ^из нормальных генеральных совокупностей с параметрами ME, = a_uDE, = o? и Mr| = а₂, Dr = <�з проверить основную гипотезу Н₀: Oj = а₂ при альтернативной Ну. а_а Ф ф а₂, если уровень значимости равен а и дисперсии известны.
• 15.42. При наблюдении за некоторым параметром а извлечены две выборки х_ь х₂, …, х_п и у_ьу₂, …, у_п его значений из нормальной генеральной совокупности, одна до воздействия на него, другая после. Требуется проверить, явились ли изменения параметра существенными, используя основную гипотезу Н₀: а_а = а₂ при альтернативной — Ну. aj > > а₂, если уровень значимости равен а.
• 15.43. Пусть х_ь х₂, …, х_п и у_ь у₂, …, у_т — выборки из нормальных совокупностей с параметрами NCa^af) и N (a₂, a|) с неизвестными, предположительно равными дисперсиями. Проверить основную гипотезу Н₀: о? =ст₂, если альтернативная Ну af Фа₂. Уровень значимости равен а.
• 15.44. Пусть в одной серии из п_г испытаний Бернулли получено т_х успехов, в другой серии из п₂ испытаний получено т₂ успехов. С помо-

щью ММП получены точечные оценки вероятностей р_: =—-, р₂ =——.

" 1 ^П2

Проверить основную гипотезу Я₀: р =р_г =р₂ при альтернативной Ну р^Ф ф р₂. Уровень значимости равен а.

15.45. Пустьх_х, х₂,…, х_п иу_ьу₂, …, У_т — выборки из совокупностей, каждая из которых имеет распределение Пуассона с параметрами и Х₂. С помощью ММП получены точечные оценки =х, Х₂— у. Проверить гипотезу Н₀: X = Х₁ = Х₂ при альтернативной Ну Х_г Ф Х₂, если уровень значимости равен а.

15.46. По выборкамх_х, х₂, …, х_п иу₁, у₂, …, у_т полнены посредством ММП оценки вероятностей в геометрических распределениях р_а = —.

1 ^х и р₂ =—. Проверить основную гипотезу Н₀: р_х = р₂ вместе с альтерна;

У

тивной Ну р_гФ р₂, если уровень значимости равен а.

15.47. По выборкамх_1;х₂, …, х" иу_1;у₂, …, у_т получены посредством ММП оценки вероятностей в показательных распределениях А.1 =-г х и Х₂ =—? Проверить основную гипотезу Н₀: Х = Х_г = Х₂, если альтерна- У

тивная Нр. Х_г> Х₂. Уровень значимости равен а.

• 15.48. Инвестор в течение 5 лет следит за движением стоимости на рынке своих активов и считает риски вложения (выборочную дисперсию). За указанный период выборочная дисперсия доходности актива, А составила 0,04, актива Б — 0,05. Есть ли у инвестора на уровне значимости 0,05 основание утверждать, что вложения в актив, А менее рискованны, чем в Б?
• 15.49. Проверяется равенство математических ожиданий а_х = а_у двух генеральных совокупностей. Из каждой генеральной совокупности сделаны выборки объемами п = 15 и т — 10, найдены выборочные средние, равные 25 и 21 соответственно. Генеральные дисперсии известны: ст| =15, aj =10. На уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: а_х = а_у при конкурирующей гипотезе Нр. а_х > а_у.
• 15.50. Испытывались на меткость стрельбы два орудия. Были сделаны 12 выстрелов первым орудием и 10 выстрелов вторым. Число попаданий оказалось 8 и 5 соответственно. На уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: р_г =р₂ о равенстве вероятностей попаданий обоих орудий при конкурирующей гипотезе Нр. р_гФ р₂.
• 15.51. Приятели, А и Б, соревнуясь в меткости стрельбы, сделали каждый по 100 выстрелов. А попал в цель 30 раз, Б — только 25. На уровне значимости 0,05 сравнить приятелей по меткости стрельбы.

L (х).

15.52. Найти квантиль К_а распределения статистики ——- в задаче Го (х) Неймана — Пирсона, а = Р i >К_аН₀ >, если для проверки гипотезы.

(Л (х) J.

Н₀: а₀ = 4 против альтернативной Нр. а₁ = 5 на уровне значимости, а = = 0,05 сделана выборка объемом в 100 наблюдений значений случайной величины % ~ N (a, 1).