Самофокусировка луча оптического лазера

Анализ процессов самофокусировки можно начать с первых работ по определению условий, при которых электромагнитный луч создает себе диэлектрический волновод и распространяется, не дифрагируя. Это может иметь место в материалах, диэлектрическая проницаемость которых возрастает с увеличением ЭП, но в отсутствие ЭМВ эти материалы должны быть совершенно однородными. Такое самозахватывание колебаний в диэлектрическом волноводе может возникнуть в интенсивном световом поле ЛИ и привести к наблюдаемым оптическим и физическим эффектам [157, 158].

В первом приближении описание подобного процесса можно получить, рассматривая дифракцию цилиндрического светового луча, однородного по интенсивности, в материалах, зависимость коэффициента преломления которых от поля запишется в виде.

n = n₀ + n₂E² + … (1).

Если диаметр луча D, то можно ожидать, что из-за дифракции луч будет обладать расходимостью . Однако если вносимый членом n₂E² вклад в диэлектрическую проницаемость внутри луча настолько велик, что угол полного внутреннего отражения на границе луча превышает, то расширение луча вследствие дифракции не должно наблюдаться. Тогда при выполняется соотношение.

(2).

где Р полная мощность луча. Это простое приближение показывает, что если мощность луча превосходит определенный критический уровень, то луч любого произвольного диаметра может захватываться и не будет расширяться, а критический уровень при этом уменьшается с ². В обычных диэлектрических материалах постоянные n₂ таковы, что критическая мощность захвата будет порядка 1 10 МВт для видимого света это уровень мощности, достижимый в обычных лазерных лучах. На радиочастотах из-за большей длины волны критическая мощность в подобных веществах в настоящее время недоступна.

Нелинейный коэффициент n₂ может быть связан с высокочас-тотным эффектом Керра, т. е. с ориентацией молекул, с электрострикцией, или с нелинейностями, обусловленными электронной поляризуемостью того типа, который отвечает за генерацию волн третьей гармоники в оптических материалах. В случае жидкостей первые два эффекта дают одинаковый вклад, а третий много меньше, как видно из табл. 1.

Таблица 1.

Здесь (n = n₀ + n₂E²), где E в электростатических единицах В твердых телах, где молекулярные вращения заморожены, преобладающее значение имеет электрострикция.

Каждый эффект обладает присущими ему релаксационными свойствами, но здесь будем рассматривать преимущественно установившиеся условия, где эти свойства не важны (подобная аппроксимация годится для многих реальных случаев).

Следует отметить, что с точки зрения геометрической оптики нелинейные диэлектрические свойства вещества позволяют фокусировать свет не в точку, а скорее в линию. Рассмотрим прохождение плоской волны через линзу, которая должна была бы свести ее в точку. Луч из пучка, первоначально распространявшегося под углом к оси, будет в предположении, что.

n = n₀ + n₂E²,.

идти не по прямой линии, а по гиперболе:

(3).

где Р мощность, r расстояние луча от оси, a z измеряется вдоль оси линзы от точки обычного фокуса, где r = 0. При выводе этого выражения предполагалось, что на траекторию луча не влияют члены более высокого, чем первый, порядка по Р.

Таким образом, фокусирующийся луч никогда не достигнет фокуса, но асимптотически приближается к оси. Однако, если диаметр луча составит величину порядка нескольких длин волн, приближение геометрической оптики не будет более справедливым, что потребует учесть волновые свойства.

Волновое уравнение, учитывающее нелинейность среды, имеет вид.

(4).

Где.

= ₀ + ₂E².

Рассмотрим его решение в виде.

= _t(x, y) cos (k_zz t).

Это выражение будем называть стационарным решением, поскольку в любой точке поле постоянно, если не считать регулярных колебаний с оптической частотой .

Теперь предположим, что изменение нелинейных диэлектрических свойств происходит много медленнее, чем изменение поля с оптической частотой; это может быть справедливым для электрострикции и некоторых видов эффекта Керра, но не для электронной поляризации, ответственной за генерацию оптических гармоник. В таких допущениях Е² можно усреднить по времени, и выражение (4) перепишется в виде.

(5).

Где.

и .

Если зависит только от у и поляризация линейная, то.

. (6).

Представив лазерный луч плоским при нулевой толщине по оси у, можем принять граничными условиями при и при y = 0, тогда исключаются периодические решения и Г²> 0. Механическим аналогом этой системы (6) является частица в потенциальном ящике с двумя стенками. Из рассмотрения этой аналогии следует, что существует единственное неосциллирующее решение, а именно, где Г должно равняться. Отметим, что при заданном размере луча (~ 1/Г) необходимое для самозахвата поле внутри луча должно достигать величины E_t(0). Более интересным, хотя несколько более сложным, является случай цилиндрического луча. В этом случае (предполагая круговую поляризацию) выражение (4) принимает вид.

(7).

где.

, .

Отсюда видно, что стационарное решение, умноженное на, отвечает лучу с любой произвольной величиной поперечного сечения. Уравнение (7) не имеет простого аналитического решения, а полученное численным интегрированием показано на рис. 1.

Рис. 1. Численное интегрирование уравнения (7)

Критическая мощность захвата в случае цилиндрического луча выражается следующим образом:

(8).

Где.

.

Численное интегрирование выражения (8) дает для критической мощности величину, которая как раз равна величине, полученной из простого уравнения (2) для больших мощностей луча. Это интегрирование позволяет также оценить b в зависимости от E (0) и, следовательно, дает.

.

Мощность зависит от диаметра луча только через n_эфф, однако эта зависимость важна лишь для лучей, диаметры которых порядка нескольких длин волн. Это обстоятельство вместе с другими нелинейностями в диэлектрических материалах, не учитывавшимися в принятом приближении, приведет к тому, что на практике диаметр захваченного луча будет зависеть от мощности.

Динамика луча и ее вариации в диэлектрических материалах еще недостаточно понятны. Здесь появляются вопросы формирования захвата, проблемы возмущений, по отношению к которым захваченный цилиндрический луч устойчив, и проблемы поведения луча при мощности, существенно превышающей критическую. Для того чтобы произошло захватывание, продолжительность интенсивного лазерного импульса (10⁸ с) должна обеспечить изменение диэлектрической постоянной. Для электрострикционных эффектов требуется время, соизмеримое с прохождением звуком расстояния порядка диаметра луча, или 10⁹ с (для нити диаметром в несколько длин волн). Время действия для эффектов Керра (связанны с молекулярным вращением) порядка 10¹¹ с, и оно явно не зависит от диаметра луча.

За время реакции диэлектрического материала его релаксационные свойства будут оказывать важное влияние на динамику поведения светового луча. Для инициирования очень небольшого «захваченного» луча очевидным процессом оказывается самофокусировка лазерного луча в прозрачном веществе, так как в геометрическом приближении стационарным решением оказывается не фокальная точка, как показано выше, а тонкий аксиальный луч. Если налицо широкий луч, мощность которого значительно выше пороговой, то он, вероятно, разбивается на несколько лучей пороговой мощности; однако в случае плоского луча постоянной частоты оказывается, что это решение не всегда имеет место, а в случае более сложных форм луча ситуация не ясна.

Видимо, может существовать слабая модуляция рассмотренных выше стационарных лучей, если она быстра по сравнению со временем реакции нелинейности среды. Так как луч, будучи захваченным, образует волновод с характеристиками, стимулирующими его собственное распространение, то, как можно показать, будет распространяться любая слабая волна более высокой, но не более низкой частоты. Диэлектрические свойства волновода в первом приближении не возмущаются слабым полем, пока частота биений между этим полем и первоначальной волной слишком высока и реакция среды не успевает за ней. Если она достаточно мала, то волновод обладает модулированной диэлектрической постоянной и решение для двух одновременно распространяющихся волн гораздо более сложно.

Очевидно, что две волны со слишком высокой (по сравнению с реакцией диэлектрических свойств) разностью частот захватываются более устойчиво, чем волна постоянной частоты. Причина заключается в том, что возрастание диэлектрической постоянной волновода (вызванное одной из волн, участвующей в его создании), относительно мало подвергается влиянию со стороны второй волны, и наоборот.

В табл. 1 приведены величины n₂, для эффекта Керра и электрострикции, а также рассчитанная критическая мощность для одной только электрострикции. Для керр-эффекта n₂ = 2J/3, где J высокочастотная постоянная Керра, обусловленная молекулярным вращением. Для электрострикции n₂ = ²/(16n₀B), где = d/d, плотность и В модуль объемного сжатия. Критическая мощность захвата рассчитана только для процесса электрострикции. Отчасти это происходит потому, что приведенная выше теория строго справедлива лишь для круговой поляризации луча, при которой молекулярное вращение могло бы внести только частичный вклад. Однако в случае плоскополяризованного луча керр-эффект полностью участвовал бы в создании n₂, как и электрострикция; тогда пороговые мощности для обоих эффектов были бы сравнимы.

Наиболее удивительным в настоящее время свидетельством наличия захваченного оптического луча являются крайне тонкие, длинные структуры точек ионизации или разрушений, которые иногда появляются в оптических материалах при фокусировке в них интенсивных световых лучей. Впервые о них сообщил Хершер [159] как о тонких нитях разрушения в стекле и других материалах; их легко продемонстрировать, сфокусировав луч рубинового лазера мощностью больше нескольких МВт в стекле хорошего оптического качества. Обычно (хотя и не всегда) вблизи фокальной точки возникает разрушение, а позади нее длинная прямая нить из небольших пузырьков и разрушений вдоль оси линзы, сопровождаемая ионизацией. Эта нить может быть длиной в несколько сантиметров и в то же время диаметром всего в несколько длин волн. Ее диаметр в некоторых случаях на два порядка меньше, чем диаметр фокуса, в приближении линейной оптики [159].

Без захвата и возрастания показателя преломления очень трудно объяснить наличие такого длинного прямого пути прохождения концентрированной световой энергии, поскольку его диаметр, не превосходя всего лишь нескольких длин волн, предполагает быстрое дифракционное расширение. Если в качестве источника разрушения принять какую-либо акустическую или ударную волну, то за время лазерного импульса она прошла бы расстояние 10³ см и должна была бы обладать такой высокой частотой, что сильно затухала бы.

Если лазерный луч захватывается в нить наблюдаемого малого диаметра, то напряженность поля должна быть порядка 10⁸ В/см, а обусловленное нелинейностями изменение показателя преломления порядка единицы. Легко, следовательно, видеть, что в нити могут иметь место важные оптические, механические и связанные с электрическим полем эффекты. Низкие уровни мощности, при которых теоретически может возникнуть самофокусировка в жидкостях, указывают на связь с этим явлением некоторых необычных характеристик вынужденного комбинационного рассеяния в жидкостях.

Самозахват оптических ЭМВ, обусловленный нелинейным увеличением коэффициента преломления, рассмотренный выше [157, 160, 161], не учитывал случая, когда эффект самофокусировки, обусловленный нелинейным увеличением коэффициента преломления, не компенсируется дифракцией. При этом интенсивность некоторой части луча возрастает с расстоянием в направлении распространения световой волны. Определим длину самофокусировки путем численного решения нелинейного волнового уравнения [162] и покажем, что такое определение достаточно корректно.

Длиной самофокусировки называют расстояние, на котором интенсивность в самосфокусированной области луча стремится стать аномально большой. Другие нелинейные оптические эффекты будут, вероятно, ограничивать процесс фокусировки в мощных лучах и могут формировать участки луча с большой интенсивностью в нити.

Самофокусировка должна играть значительную роль в процессах вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР) и других нелинейных эффектах [157]. В самосфокусированном луче ВКР-усиление должно быть аномально большим. Аномальное ВКР-усиление рассматривалось в литературе [163 — 165], где отмечалась одна важная особенность для возникновения аномального усиления необходимо, чтобы луч в жидкости прошел некоторое расстояние. Предположим, что это расстояние и есть та самая длина самофокусировки, о которой говорилось выше, и проведем расчеты, позволяющие несколько прояснить проблему аномального усиления. Результаты экспериментов подтверждают это предположение [166, 167].

За основу примем волновое уравнение (4) из работы [157].

(9).

где ₀ и ₂ действительные величины и ₂Е² << 1. Предположим, что вдоль оси z распространяется линейно поляризованная волна частоты, так что.

(10).

где.

k = ₀^0,5/c,.

экспонента exp (ikz i? t) характеризует распространение волны, а Е медленно меняющаяся амплитуда. Подставляя это выражение в уравнение (9) и пренебрегая членами, содержащими третью гармонику, получаем.

(11).

где ₂ = 3₂/4. Заметим, что.

n = n₂E² = 0,5₂E²/n₀

(изменение показателя преломления, обусловленное отсутствием осцилляции, как определили это выражение Мэйкер и Терхьюн [168]).

Пренебрегая членом, содержащим вторую производную от Е по z, ввиду его малости, можем записать:

. (12).

Отметим, что если в луче поперечных градиентов нет, то уравнение (12) имеет простое решение.

; (13).

другими словами, нелинейность вносит фазовые искажения, пропор-циональные интенсивности, а фазовая скорость уменьшается с увеличением интенсивности.

Таким образом, поверхность постоянной фазы обращена вогнутостью в направлении распространения луча. Поэтому по принципу Гюйгенса световые лучи должны стремиться к области наибольшей интенсивности, и интенсивность центральной зоны должна возрастать.

Используем это решение для отыскания характерной длины самофокусировки. Предположим, что поперечные вторые производные от Е' в уравнении (12) зависят от расстояния по оси z через поперечное изменение интенсивности в показателе экспоненты выражения (13). Это, в свою очередь, приводит к заметному изменению поля вдоль оси, когда.

(14).

где, а характеристический поперечный радиус кривизны входного луча и Е_m пиковая величина поля. Длина самофокусировки отыскивается в предположении, что во входном сечении луча фаза везде постоянна. Поскольку в уравнении (12) вторая производная по z не учтена, следует ожидать, что полученное решение будет справедливым, пока диаметр канала не уменьшится до нескольких длин волн.

Воспользовавшись данными работы [168], получаем, что для CS₂ n₂ (0,2 — 1,5)10¹¹ ед. СГСЕ. Для луча мощностью 1 МВт и диаметром 2 мм длина фокусировки в CS₂ будет составлять 40 100 см. Весьма вероятно, что на частоте рубинового лазера нелинейность n₂ во многих жидкостях обусловлена близостью к двухфотонному резонансу с учетом колебательных состояний молекул.

Приравнивая z_фокус дифракционной длине, мы получаем приближенное значение пороговой мощности для самозахвата цилиндрического луча (считая, а равным радиусу луча):

P_кр = (1,22)²c/512n₂. (15).

Поскольку n₂ = 0,5n₂, эта мощность равна 0,25 величины пороговой мощности, определенной в работе [157]. После поправки на дифракцию получаем чистую длину самофокусировки.

(16).

где E_кр = 1,22/[8a (n₀n₂)^0,5].

Чтобы подтвердить эти соображения, уравнение (12) решалось численно для цилиндрического луча, при этом для удобства расчетов уравнение (12) записывалось в следующей безразмерной форме:

(17).

где r* = r/a, z* = 0,5z/ka² и E* = kaE (₂/₀)^0,5, а звездочкой отмечены безразмерные величины. При этом в безразмерной форме.

и .

Решаем уравнение (17) методом конечных разностей, или сеток, описанным Хармусом [169], видоизменяя его для учета нелинейности, предполагая, что на входе луча фаза постоянна, а профиль интенсивности описывается гауссовой кривой. Результаты численных решений приведены на рис. 2 (теоретическое распределение интенсивности луча I* по радиусу r* для z* = 0,353/E^*_m

(для сравнения пунктиром показан профиль первоначальной интенсивности (z*= 0), имеющий, по предположению, гауссову форму)) и 3 (теоретическая зависимость интенсивности центральной области луча I* от расстояния в направлении распространения z* (в единицах 1/E^*_m)).

Величина Е_m выбрана достаточно большой для того, чтобы длина фокусировки была невелика.

Обнаружилось, что мощность луча с точностью, по крайней мере, до пятого десятичного знака не зависит от z*, а ширина луча на уровне половины максимальной интенсивности изменяется (в первом приближении) обратно пропорционально центральной интенсивности.

Отметим, что приведенная на рис. 3 кривая с большой точностью описывается формулой.

(18).

Где.

.

Находим, что z₀^* = 0,366/E_m^*(0), в то время как из выражений (14) и (16) z*_фокус= 0,353/E_m^*(0) и z*_чист= 0,368/E_m^*(0) соответственно.

Рис. 2. Теоретическое распредеРис. 3. Теоретическая зависиление интенсивности луча I* по мость интенсивности центральной радиусу r* области луча I* от расстояния в направлении распространения z*

В работе [170] получено уравнение, эквивалентное выражению (12), в форме.

(19).

и ,.

где, а знак перпендикуляра в индексе обозначает поперечные производные. Воспользуемся этими равенствами для получения уравнения, описывающего возрастания интенсивности в центре луча (r = =0). Пренебрегая изменением фазы из-за дифракции (т.е. z_чист z_фокус), можно уравнение для центральной области луча записать в виде.

. (20).

Принимая приближенно.

и.

(т.е. считая, что квадрат радиуса кривизны обратно пропорционален интенсивности, что разумно основывается на сохранении мощности), получаем уравнение.

(21).

которое в безразмерной форме имеет (18) своим решением, если.

.

Полученные выражения справедливы для однородного луча (т.е. луча, поперечный радиус кривизны которого вблизи максимума порядка поперечного радиуса), при этом длина самофокусировки лучей, кривизна которых больше кривизны этого луча, будет меньше, чем длина фокусировки луча такого радиуса.

Можно показать, что влияние других мод [161 165] также будет уменьшать длину самофокусировки.

Определим коэффициенты электрострикции и постоянные эффекта Керра из данных по показателям преломления, диэлектрических постоянных, изотермических сжимаемостей и эффекту Керра в постоянном поле и оценим их относительную роль в самофокусировке излучения лазера с модулированной добротностью.

Изменение показателя преломления через колебания плотности и поляризуемости и p зададим соотношением КлаузиусаМозотти.

. (22).

В присутствии светового поля величина подчиняется волновому уравнению акустики с учетом внешней силы.

. (23).

Здесь s = (1/₀)^0,5 скорость звука, изотермическая сжимаемость, Г затухание звука и.

.

Так как при оптических частотах не может следовать за внешней силой, рассмотрим только низкочастотные компоненты. Для монохроматического поля находим, что.

(n) = 0,5KI_?², (24).

где K = 2/8n0 коэффициент электрострикции.

Вычисленные коэффициенты электрострикции К_р, константы высокочастотного эффекта Керра К_а и эффекта Керра в постоянном поле, (К₁)_пост для различных жидкостей на длине волны D-линии Na приведены в табл. 2.

Таблица 2

Предположим, что изменение поляризуемости связано всецело с изменением ориентации анизотропных молекул. Пусть f (, ,) функция распределения ориентации, где углы, и определяют ориентацию отдельной молекулы. Изменение поляризуемости можно рассчитать по теории Ланжевена [171].

Имеем.

. (25).

Здесь р_н наведенный дипольный момент, а f = f — f₀ подчиняется уравнению.

,.

где 4a³/kT время релаксации, а размер молекул, коэффициент вязкости, С константа нормировки и U потенциальная энергия анизотропной молекулы в поле Е.

Опять-таки, поскольку f не успевает изменяться с оптической частотой, нужно принимать во внимание только его низкочастотную часть. В первом приближении для линейно-поляризованного монохроматического поля находим.

(26).

а для круговой поляризации.

(27).

Где.

высокочастотная постоянная Керра,? диэлектрическая постоянная, а ?_? задается соотношением Дебая:

.

причем постоянный дипольный момент молекулы. Величина (K₁)_пост есть часть константы эффекта Керра в постоянном поле, связанная только с наведенным дипольным моментом и всегда положительная. Для неполярных молекул.

К_a (К₁)_пост.

При вычислении этих постоянных n₀ взято из International Critical Tables, а? и из Handbook of Chemistry and Physics. Значения физических констант брались по возможности при температуре 20 °C.

Для полярных молекул с большим постоянная высокочастотного эффекта Керра может быть по абсолютной величине значительно меньшей, чем в постоянном поле. В таблице приведены высокочастотные постоянные Керра для различных жидкостей, полученные при использовании величин (K₁)_пост, рассчитанных Раманом и Кришнаном [171]. Для сравнения даны также константы эффекта Керра в постоянном поле.

Можно показать, что для импульса длительностью _i, полученного от лазера с модулированной добротностью, при? << _и? соотношение (27) справедливо, но (n)_p теперь пропорционально величине I₁(r, t)², которая зависит от времени. Для большинства жидкостей это справедливо, так как? << 10¹⁰ с. Изменение плотности не может, однако, следовать за гигантским импульсом. Предположив, что распределение интенсивности ЛИ по сечению пучка и во времени имеет вид.

t для t _i,.

I₁(r, t)² = A exp (p²r²) (28).

t + 2L для t _i,.

можно, пренебрегая членом ²() в уравнении (23), получить грубую оценку изменения плотности. Это хорошее приближение для случая p < 100 и r < 1/p. В результате получаем общее (с учетом высокочастотного эффекта Керра) изменение показателя преломления.

для t _i?,? (29)?

(30).

для t _i .

Соотношение (30) показывает, что при t = _i? отношение (n)/(n)_p составляет около 10² К/К_a, для s = 1,510⁵ см/с, _i = 210⁸с и p = 30 см¹. В дальнейшем это отношение становится больше.

Увеличение показателя преломления с увеличением интенсивности ЛИ в жидкости приводит к самофокусировке луча. Эксперименты [172 174] показывают, что сильнее всего самофокусировка проявляется в CS₂, затем (по мере уменьшения эффекта) в нитробензоле, бромбензоле, толуоле, бензоле, хлороформе, CCl₄, гексане и метиловом спирте. Как показывает таблица, величины высокочастотных постоянных Керра этих жидкостей расположены точно в том же порядке. Мы видели также, что эффект самофокусировки в этих жидкостях сильно уменьшается при использовании поляризованного по кругу излучения. Это заставляет нас предположить, что самофокусировка обусловлена высокочастотным эффектом Керра. Однако в жидкостях с небольшими постоянными Керра электрострикция может оказаться существенной. Используя соотношения (30), можно вычислить, что в CCl₄ при t = _i отношение (n)/(n)_p 0,4. Коэффициенты электрострикции обладают сильной положительной температурной зависимостью, в то время как высокочастотные постоянные Керра обладают слабой отрицательной температурной зависимостью. Действительно, температурные измерения показывают, что во всех жидкостях с большими высокочастотными постоянными Керра с увеличением температуры эффект самофокусировки уменьшается, а в CCl₄ и гексане увеличивается. Высокочастотным эффектом Керра объясняется также спектральное расширение в вынужденном комбинационном рассеянии, когда ЛИ имеет две или более мод, разделенных промежутком 1 см¹. Однако электрострикция должна слабо влиять на спектральное расширение, так как составляющие Ар на частотах биений лазерных мод крайне малы [175].