Применение вспомогательных сфер c постоянным центром

Общие положения. Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения — окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 10.3 показана фронтальная проекция пересечения сферой радиуса R поверхностей вращения — конуса, тора, цилиндра, сферы, оси которых проходят через центр сферы радиуса R и параллельны плоскости ?2. Окружности, по которым пересекаются указанные поверхности вращения с поверхностью сферы, проецируются на плоскость в виде отрезков прямых. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические и неконцентрические сферы. В данном параграфе рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер — сфер с постоянным центром.

Способ секущих сфер с постоянным центром для построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следующих условиях:

• 1) обе пересекающиеся поверхности — поверхности вращения;
• 2) оси поверхностей вращения пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер;

Рис. 10.3.

Рис. 10.4.

3) плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций. В случае, если это условие не соблюдается, то чтобы его обеспечить, прибегают к способам преобразования чертежа.

Пример (рис. 10.4). Способ вспомогательных сфер с постоянным центром применен для построения линии пересечения кругового конуса с поверхностью, состоящей из тора и цилиндра. Тор и цилиндр имеют общую ось вращения, пересекающуюся с осью конуса в точке с проекцией О" . Обе оси принадлежат плоскости, параллельной плоскости ?2 (фронтальной плоскости).

Построение линии пересечения конуса с тором. Заметим, что линия пересечения конуса с тором в данном случае симметрична относительно фронтальной плоскости, проходящей через оси пересекающихся поверхностей. Фронтальные проекции видимого и невидимого участков линии пересечения совпадают. Поэтому в дальнейшем изложении будут указываться построения проекций только видимых точек линии пересечения. Характерными точками искомой линии пересечения являются высшая с проекцией 1", низшая с проекцией E" и ближайшая к оси тора с проекцией C «. Проекция 1″ определяется точкой пересечения фронтальных проекций очерков тора и конуса. Проекция Е» построена с помощью сферы /?3. Она пересекает тор по окружности, проецирующейся в отрезок прямой, проходящей через проекцию 10″ перпендикулярно оси, и конус по окружности, проецирующейся в отрезок прямой, проходящей через проекцию 11″ перпендикулярно оси конуса. Проекция С" построена с помощью вспомогательной сферы минимального радиуса Rmm. Его находят как радиус сферы, касательной к одной из поверхностей вращения и пересекающей другую. В данном случае радиус такой сферы определен проекцией 6″ , в которой проекция образующей окружности R, тора пересекает линию О «О» . Сфера радиуса Rmm касается тора по окружности с проекцией 6″ 7″ и пересекает конус по окружности с проекцией 8″ 9″ . Для построения проекции А « произвольной точки линии пересечения конуса и тора пересечем их сферой/?, с центром в точке с проекцией О «. Эта сфера пересекает конус по окружности с проекцией в виде отрезка 2 «3 «, тор — по окружности с проекцией в виде отрезка 4 «5 «. В пересечении этих проекций находим проекцию А «. Аналогично строят проекции любых других точек линии пересечения, например проекцию В» с помощью вспомогательной сферы радиуса R2.

Построение линии пересечения конуса с цилиндром. Характерными точками искомой линии пересечения являются высшие с проекцией E « и низшая с проекцией F»  — точка пересечения фронтальных проекций очерков цилиндра и конуса. Проекция К « произвольной точки этой линии построена с помощью сферы радиуса R4. Она пересекает цилиндр и конус по окружностям, проецирующимся в отрезки прямых, проходящих через проекции 12» и 13″ .

В некоторых случаях, когда при введении вспомогательных плоскостей характерные точки можно построить только путем построения сложной кривой (например, для построения проекций точек 7 и 8 на рис. 10.5 потребуется построить гиперболу от сечения плоскостью? (?")), применение вспомогательных сфер может существенно упростить построения. Для построения проекций точек 7 и 8 удобно применить сферу радиуса R с центром с проекцией О" в точке пересечения оси конической поверхности и одной из осей сферы, перпендикулярной плоскости ?3. Радиус R секущей сферы выбран таким, чтобы она пересекала заданную сферу по ее профильному меридиану, проходящему через точку с проекцией L" . Коническую поверхность сфера радиуса R пересекает по окружности, проходящей через точку с проекциями К", К'. Фронтальные проекции 7″ и 8″ искомых точек являются точками пересечения фронтальных проекций окружностей в виде отрезков прямых, проходящих через точки L" и К" . Построение горизонтальных 7' и 8' проекций на горизонтальной проекции.

Рис. 10.5.

окружности, проходящей через точку А-', и профильных 7″ ' и 8″ ' проекций на профильной проекции очерка сферы ясно из чертежа.

Влияние соотношения размеров поверхностей на линии их пересечения. Зависимость линии пересечения поверхностей вращения от соотношения между собой их размеров рассмотрена на примерах пересечения двух цилиндров и цилиндра с конусом.

Изменения проекции линии пересечения вертикального и горизонтального цилиндров в зависимости от изменения соотношений диаметров d, вертикального и? горизонтального цилиндров наглядно видны на рис. 10.6, а-г. C приближением значения диаметра d{ вертикального цилиндра к диаметру? горизонтального цилиндра (б) линия пересечения все больше прогибается вниз (точка В опускается). При равенстве диаметров (в), т. е. касании цилиндров одной сферы на линии пересечения в точке В возникает перелом, а плавная линия пересечения превращается в две плоские эллиптические кривые, которые проецируются в два прямолинейных отрезка и плоскости которых пересекаются между собой под прямым углом. При дальней;

Рис. 10.6.

Рис. 10.7.

шем увеличении (г) диаметра d, вертикального цилиндра (d{ > d2) общее направление линии их пересечения изменяется. Такое изменение в данном случае равносильно повороту ранее приведенных изображений, например (б) на 90°.

Изменение проекции линии пересечения прямых круговых конуса и цилиндра в зависимости от угла при вершине конуса показано на рис. 10.7, а-г. В случаях (а) и (б) пересечение конуса с цилиндром происходит по линии 4-го порядка. Она проецируется на плоскость проекцией, параллельной плоскости симметрии, в гиперболу и разделяет конус на две части, одна из которых прилегает к вершине, другая — к основанию (конус «врезается» в цилиндр).

В случае (в) конус и цилиндр касаются одной сферы и пересекаются по двум плоским пересекающимся между собой эллиптическим кривым 2-го порядка, проецирующимся в отрезки прямых.

В случае (г) линии их пересечения разделяют цилиндр на две части (цилиндр «врезается» в конус).

В случаях (а) и (б) в цилиндре может быть обработано коническое отверстие. В случае (г) в конусе может быть выполнено цилиндрическое отверстие. В случае (в) обработка отверстий в цилиндре конического или в конусе цилиндрического невозможна, так как тело в таком случае распадается на две части.