Вопросы и задания для повторения

• 1. Какие предположения называются основной и альтернативной гипотезами?
• 2. Что такое ошибки первого и второго рода?
• 3. В чем заключается метод отношения правдоподобия?
• 4. Опишите алгоритм принятия решений с возможностью совершения ошибки первого рода, не превышающей а?
• 5. Опишите алгоритм принятия решений с возможностью совершения ошибки второго рода, не превышающей р.
• 6. Что нужно сделать при проведении наблюдений, чтобы уменьшить ошибки первого и второго рода?
• 7. При каком условии метод отношения правдоподобия можно применять к гипотезам, касающимся параметров распределений, не являющихся нормальными?
• 8. С какой целью проводятся наблюдения с получением двух выборок?

Примеры решения задач

Задача 15.1. На фирме имеется парк из 10 автомобилей одинаковой марки. Средний расход бензина по городскому циклу для них равен 9,20 л на 100 км. В автомобили был поставлен карбюратор другого типа. Расход бензина для каждого из 10 автомобилей составил 10,1, 8,3,9,1,8,6, 7,9,8,3,

• 8,0, 8,8, 9,1, 7,8 л. На уровне значимости 0,05 проверить предположение об изменении среднего расхода бензина в автомобилях, при условии что:
  • а) средний расход бензина а₀ = 9,20 л есть генеральное среднее, указываемое в паспорте на эту марку;
  • б) средний расход бензина х₀ = 9,20 л был найден для партии из 10 автомобилей.

Решение, а) Основная гипотеза Н₀: а = а₀ = 9,20 (средний расход бензина остался прежним по отношению к генеральному среднему).

Альтернативная гипотеза Н_г: а ф а₀ (средний расход изменился).

Требуется использовать критерий отношения правдоподобия для случайной величины с известным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией.

— h п.

Найдем мс₀: х = 8,60, с_а." = ,-?(*; - «о)² =0,90. Дисперсию Ь²_а._п

п_ы 1.

исправлять не надо.

Условие принятия гипотезы Н₀: |t,| < ха_/2. _п, где t_n = _л ⁰⁽¹ sfn =

= ⁸, 60−9,₂0^ ₌

0,90

Нужный квантиль находится по таблице Стьюдента как х_а/2. _п для одномерной критической области или как ха. _п для двумерной и числа степеней свободы п = 10. Его величина х_а/2. _п = 2,23.

Поскольку неравенство |-2,11| < 2,23 выполняется, гипотеза Н₀ принимается, т. е. средний расход бензина остался на прежнем уровне.

2. Основная гипотеза Н₀:а = х₀ =9,20 (средний расход бензина для 10 автомобилей остался прежним).

Альтернативная гипотеза Н₁: а фх₀ (средний расход изменился).

Будем также использовать критерий для случайной величины с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией. Найдем X и S_n: х = 8,60; S_n = ?(>,• -х)² =0,69.

1 п-1 _i=1

Условие принятия гипотезы Н₀: | t"_j | < ха_/2. _п_₁₅ где

Нужный квантиль находится по таблице Стьюдента как х_а/2. _п__г для одномерной критической области или как х_(Х. для двумерной и числа степеней свободы п — 1 = 9. Его величина х_а/2. _п-1 = 2,26. Поскольку неравенство | —2,751 < 2,26 не выполняется, гипотеза Н₀ отклоняется, гипотеза Н_} принимается, т. е. средний расход бензина изменился.

Таким образом по результатам анализа можно сделать вывод, что новый карбюратор не меняет расход бензина в общем случае у автомобилей данной марки, но для имеющихся на базе 10 автомобилей расход бензина стал меньше.

Задача 15.2. Физическая подготовка девяти спортсменов до начала тренировок приведена в баллах в таблице. Затем были подведены итоги проверки через неделю и месяц. Что можно сказать об улучшении физической подготовки студентов на уровне значимости, а = 0,05?

Решение. Вычислим средние значения и исправленные дисперсии.

Проверка равенства дисперсий. Статистика наибольшего разброса 297 3.

дисперсий /₈.₈ =-— = 2,69. Для чисел степеней свободы 8 и 8.

' 110,6.

на уровне значимости 0,05 находим в таблице Фишера критическую точку х_кр. ₈.₈ = 3,44. Поскольку/₈.₈ = 3,44, равенство дисперсий принимается.

Основная гипотеза Н₀: а₂ = а_ь альтернативная — Н_х: а₂> а_х.

При сравнении средних с недельным интервалом имеем статистику.

у-Х I— _ _.

t-. =уп =0,57, тогда как х_кр. ₁₆ = 1,75. Поскольку t < х_кр. ₁₆, то принимается гипотеза Н₀.

~z — X I—.

Месячный интервал дает статистику t-. =уп=3,10, что больше 1,75.

Вывод. После недели тренировок успехи спортсменов незначимы. Через месяц тренировок можно уверенно (надежность 0,95) утверждать, что физическая подготовка спортсменов улучшилась.