Алгебраические структуры на множествах

Групповые структуры по Бурбаки на множествах чаще называют алгебраическими структурами (см., например, [43]), хотя понятие группа является более широким в сравнении с понятием алгебра.

Внешние и внутренние законы композиции на множествах

Законом композиции или операций на множествах называют отображение произведений множеств в одно из множеств.

Так, сложение векторов х и у из множества А векторов трехмерного пространства есть бинарная операция <�р: А х А—> А (х + у = z — сложение по «правилу треугольника»), умножение вектора х на число, а также является бинарной операцией i: А х R —> А, заданной формулой v (x, a) = a хх. В первом случае бинарная операция называется внутренней, во втором случае говорят о внешнем законе композиции.

Свойства операций определяются аксиомами. Так, аксиомы унарной операции отрицание и бинарных отношений &, V, => и (см. Глава 2, п. 2) записаны в форме истинностных таблиц. Внешний закон композиции всегда называют умножением, мы будем обозначать его символом, внутренние законы композиции называют и сложением, и умножением и обозначают символами © и ®, соответственно. Чем больше операций задано на множествах, тем богаче соответствующая этим операциям структура. Перечислим свойства и согласованность операций (см. Глава 2, п. 2).

• 1. Ассоциативность: (а ® Ь)® с = а ® (Ь® с).
• 2. Коммутативность: а ® b = b © а .
• 3. Антикоммутативность: а ®Ь—Ь® а.

А. Дистрибутивность: а (Ь © с) — (а Ь) © (а с).

5. Существование нейтрального относительно операции ф элемента е:

6. Существование обратного к элементу, а (к элементу Ь) относительно операции Ф (операции ®) элемента а~¹ (элемента b '):

Для аддитивных операций ® нейтральный элемент е называют нулем, для мультипликативных операций ® — единицей. Для некоммутативных операций различают левый и правый нейтральные элементы.

Изоморфизм алгебраических структур

Пусть на множествах М и Р заданы некоторые структуры, например с помощью внутренних бинарных операций ® и ®, соответственно, т. е. ®: М х М —"М и е: РхР^Р. Множество со структурой мы будем обозначать соответствующей парой (М, 0) и (Р, ф).

Определение 4.1. Биекция р: М-> Р называется изоморфизмом структур (М,®) и (Р, (c)), если из а®b — с на множестве М следует Р (а) © Р (Л) = р© на множестве Р, если же множество М совпадает с множеством Р, то изоморфизм Р называется автоморфизмом.

При этом также говорят, что структуры (М, 0) и (Р, Ф) изоморфны. Отношение изоморфности на множестве {(Л/, ф)} структур обладает свойствами (ср. п. 6, Глава 3) рефлексивности, симметричности и транзитивности, которые гарантируются биекциями соответствующих множеств, и потому это отношение есть отношение эквивалентности. Теории изоморфных структур совпадают и нс зависят ни от конкретной природы элементов изоморфных множеств, ни от способов задания структуры на множествах.

Пример 4.1. Пусть R⁺ ={х: хeR, х>0}, a® b=a + b и a®b=axb. Тогда р: R⁺ —" R, где Р (х)=1п.т, есть изоморфизм, так что структуры х) и (R, +) изоморфны. Этот изоморфизм позволяет операцию умножения чисел заменить менее трудоемкой операцией сложения их логарифмов. Подробности см. в [5], [27] и в [45].