Дивергенция векторного поля. 
Связь с источниками поля

Пусть мы имеем векторное поле F (x, y, z). Результат формального скалярного умножения оператора V на F (jt, y, z) называют дивергенцией:

Эта скалярная величина связана с функцией источников поля. Дивергенция равна отношению потока, пронизывающего бесконечно малый объем вокруг данной точки, к величине этого объема. Если в точке нет источника, дивергенция в ней равна нулю, поскольку входящий в элементарный объем моток равен выходящему. Если в точке находится элементарный источник, дивергенция в ней положительна; если элементарный сток (отрицательный источник) — соответственно отрицательна. Для конечного объема связь между источниками внутри него и потоком векторного поля через него устанавливает теорема Гаусса (пункт 4.1.5).

Ротор векторного поля. Вихревые (соленоидальные) поля.

Пусть мы имеем векторное поле F (x, y, z). Результат формального векторного умножения оператора V на F (x, y, z) называют ротором:

Его физический смысл — проекция ротора на данную ось равна отношению работы поля при обходе нормальной этой оси элементарной площадки к ее величине.

Векторное поле G (*,?, z), которое можно представить в виде ротора другого векторного поля F (x, y, z), называют вихревым, а саму функцию F (x, y, z) -векторным потенциалом. Свойства таких полей и соответствующие примеры из физики приведены в разделе 6.4.2.

Двукратное пространственное дифференцирование. Оператор Лапласа.

Как правило, двукратное пространственное дифференцирование приводит к тождественно нулевому результату. Например,.

Аналогично.

Единственный способ не получить тождественный нуль при двукратном применении оператора V — построить оператор вида.

называемый оператором Лапласа. С его помощью строятся основные уравнения математической физики.

Уравнения Пуассона и Лапласа. Уравнение вида

называют уравнением Пуассона. Функция q (x, y, z) описывает источники поля. Если q{x, y, z) = 0, мы получаем уравнение Лапласа. Это — основное уравнение электростатики. Оно позволяет найти потенциал в какой-либо области по заданному распределению источников и граничным условиям. Так называемое фундаментальное решение уравнения Пуассона, описывающее поле точечного источника в безграничной среде, имеет вид.

где г = Jx² +y² + z² — радиальная координата, А — постоянная, зависящая от источника.

Волновое уравнение и уравнение Гельмгольца.

Волновое уравнение описывает волны, распространяющиеся в однородной среде.

Как обычно, в правой части стоит функция источника, коэффициент с — скорость распространения волн. Непосредственной подстановкой в однородное уравнение нетрудно убедиться, что его решением может быть произвольная дважды дифференцируемая функция /, аргумент которой

где г — радиус-вектор, Я — единичный вектор |Я| = 1, задающий направление распространения волны. Пусть источник зависит от времени по гармоническому закону.

Тогда и решение можно искать в виде.

описывающем гармоническую волну. После подстановки в волновое уравнение получаем для F® уравнение Гельмгольца

где к = со/с, a Q® = q₀®/c².